试题

题目：
青果学院如图，已知在四边形ABFC中∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF=AE．
（1）试探究，四边形BECF是什么特殊的四边形并证明之；
（2）若四边形BECF的面积是6cm2且BC+AC=
105
cm时．求AB．
答案
解：（1）四边形BECF是菱形．
青果学院证明：EF垂直平分BC，
∴BF=FC，BE=EC，
∴∠1=∠2，
∵∠ACB=90°，
∴∠1+∠4=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠3=∠4，
∴EC=AE，
∴BE=AE，
∵CF=AE，
∴BE=EC=CF=BF，
∴四边形BECF是菱形．

（2）由（1）可知四边形AEFC为平行四边形，
∴EF=AC，
根据菱形的面积公式可知：BC·AC=6×2=12（cm）2，
又BC+AC=
105
cm，
∴（BC+AC）2-2BC·AC=BC2+AC2=105-2×12=81（cm）2，
∴AB=2BE=2×
BC2
4
+
AC2
4
=9cm．
解：（1）四边形BECF是菱形．
青果学院证明：EF垂直平分BC，
∴BF=FC，BE=EC，
∴∠1=∠2，
∵∠ACB=90°，
∴∠1+∠4=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠3=∠4，
∴EC=AE，
∴BE=AE，
∵CF=AE，
∴BE=EC=CF=BF，
∴四边形BECF是菱形．

（2）由（1）可知四边形AEFC为平行四边形，
∴EF=AC，
根据菱形的面积公式可知：BC·AC=6×2=12（cm）2，
又BC+AC=
105
cm，
∴（BC+AC）2-2BC·AC=BC2+AC2=105-2×12=81（cm）2，
∴AB=2BE=2×
BC2
4
+
AC2
4
=9cm．
考点梳理
菱形的判定与性质；直角三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质．
（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC，又因为CF=BE，BE=EC=BF=FC，根据四边相等的四边形是菱形，所以四边形BECF是菱形；
（2）根据菱形的面积公式可知：BC·EF=6×2（cm）2，又BC+AC=
105
cm，再根据勾股定理即可求出BE的长，继而得出AB的长．
本题考查菱形的判定和性质，有一定难度，解题关键是熟练掌握菱形的判定方法及性质并灵活运用．
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