试题

阅读材料：
如图（1），在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为点P．求证：S_{四边形ABCD}=

1

2

AC·BD；
证明：∵AC⊥BD，
∴

S△ACD= 1 2 AC·PD S△ABC= 1 2 AC·BP

∴S_{四边形ABCD}=S_△ACD+S_△ACB=

1

2

AC·PD+

1

2

AC·BP
=

1

2

AC（PD+PB）=

1

2

AC·BD
解答问题：
（1）上述证明得到的性质可叙述为
（2）已知：如图（2），在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且相交于点P，AD=3cm，BC=7cm，利用上述性质求梯形的面积．
（3）如图（3），用一块面积为800cm²的等腰梯形彩纸做风筝，并用两根竹条作梯形的对角线固定风筝，对角线恰好互相垂直，问竹条的长是多少？

解：（1）叙述：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．

（2）在BC的延长线上取一点E，使DE∥AC，从D点作DF⊥BE，
∵梯形是等腰梯形，
∴BD=AC=DE，
∵AC⊥BD，
∴∠DBC+∠ACB=90°，
∵DE∥AC，
∴∠DEB=∠ACB，
∴∠DBC+∠DEB=90°
利用直角三角形斜边上的中线的性质可知DF=BF=EF=5，
由勾股定理可知，DE=5

2

，
∴S_梯形=S_△BDE=

1

2

DE·DB=5

2

×5

2

÷2=25cm²．

（3）∵ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
∴S_梯形ABCD=

1

2

AC·BD=

1

2

AC²=800，
∴AC=BD=40cm；
答：竹条的长是40cm．