试题

题目：
青果学院已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BD=6，AC=BC=8．
（1）请判断对角线AC与BD的位置关系，说明理由．
（2）求出梯形ABCD的高线DE的长．
答案
青果学院解：（1）AC⊥BD．
理由：过D作DF∥AC交BC的延长线于F，
∵AD∥BC，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∴CF=AD=2，DF=AC=8，
∴BF=BC+CF=8+2=10，
∵BD2+DF2=62+82=100，BF2=102=100，
∴BD2+DF2=BF2，
∴△BFD是直角三角形，
又∵DF∥AC，
∴AC⊥BD．

（2）在△BFD中，2S△BFD=BD·DF=BF·DE，
即6×8=10DE
解得：DE=
24
5
．
青果学院解：（1）AC⊥BD．
理由：过D作DF∥AC交BC的延长线于F，
∵AD∥BC，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∴CF=AD=2，DF=AC=8，
∴BF=BC+CF=8+2=10，
∵BD2+DF2=62+82=100，BF2=102=100，
∴BD2+DF2=BF2，
∴△BFD是直角三角形，
又∵DF∥AC，
∴AC⊥BD．

（2）在△BFD中，2S△BFD=BD·DF=BF·DE，
即6×8=10DE
解得：DE=
24
5
．
考点梳理
梯形．
过D作DF∥AC交BC的延长线于F，所以四边形ACFD是平行四边形，CF=AD=2．
（1）在△BFD中，BD=6，BC=10，DF=AC=8，根据勾股定理逆定理△BFD是直角三角形，且∠BDF是直角，所以AC⊥BD；
（2）在△BFD中，2S△BFD=BD·DF=BF·DE，代入数据即可求出DE的长．
本题（1）中利用平行四边形的性质和勾股定理逆定理求解，作对角线AC的平行线构造平行四边形是解题的关键；
（2）中运用等面积法，这种方法在直角三角形中经常运用，同学们需要熟练掌握．
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