试题

如图所示．梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90°，AB=p，CD=q，E，F分别为AB，CD的中点，求EF．

解：过点F分别作FG∥AD，FH∥BC交AB于G，H，（如图）
∴∠A=∠FGH，∠B=∠FHG，
∵∠B+∠A=90°，
∴∠FGH+∠FHG=90°，
∴△FGH是直角三角形，
∵FG∥AD，FH∥BC，AB∥CD，
∴四边形ADFG、FHBC都是平行四边形，
又∵E、F分别是两底的中点，
∴AE=EB，BH=AG，
∴GE=EH，
∴DF=AG=

q

2

，FC=HB=

q

2

，FG=AD，FH=BC，
在Rt△FGH中，即EF是Rt△FGH斜边的中线，
∴EF=

1

2

GH=

1

2

（AB-CD）=

p-q

2

．
解：过点F分别作FG∥AD，FH∥BC交AB于G，H，（如图）
∴∠A=∠FGH，∠B=∠FHG，
∵∠B+∠A=90°，
∴∠FGH+∠FHG=90°，
∴△FGH是直角三角形，
∵FG∥AD，FH∥BC，AB∥CD，
∴四边形ADFG、FHBC都是平行四边形，
又∵E、F分别是两底的中点，
∴AE=EB，BH=AG，
∴GE=EH，
∴DF=AG=

q

2

，FC=HB=

q

2

，FG=AD，FH=BC，
在Rt△FGH中，即EF是Rt△FGH斜边的中线，
∴EF=

1

2

GH=

1

2

（AB-CD）=

p-q

2

．