试题

如图，梯形ABCD中，AB=CD，BC=3AD，E为腰AB上一点．
（1）若CE⊥AB，BE=3AE，AB=CD，求∠B；
（2）设△BCE和四边形AECD的面积分别为S₁，S₂，若2S₁=3S₂，求

BE

AE

．

解：（1）设AE=x，BE=3x，作DF∥AB，交BC于F，交CE于G，
则BF=AD，DF=AB=4x，
CF=BC-BF=2AD，
FG：BE=CF：BC=2：3，
所以，FG=2x，DG=DF-FG=4x-2x=2x，
G为DF边的中点，
又CE⊥AB，DF∥AB，所以，CG⊥DF，
G为DF边的垂足，
所以，CD=CF，
又CD=AB=DF，
所以，三角形DFC为等边三角形，
所以∠DFC=60°，
所以∠B=∠DFC=60°；

（2）如图，
把梯形ABCD补成平行四边形ABCF，连接AC，
设S_△BCE=3s，S_{四边形AECD}=2s，则DF=2AD，
又设S_△ACD=x，则S_△ACE=2s-x，S_△CDF=2x，
由S_△ABC=S_△ACF，得3s+2s-x=x+2x，则x=

5

4

s，
∴S_△ACE=2S-

5

4

s，
S_△ACE=

3

4

s，
故

BE

AE

=

S△BCE

S△ACE

=

3S

3 4 S

=4．
解：（1）设AE=x，BE=3x，作DF∥AB，交BC于F，交CE于G，
则BF=AD，DF=AB=4x，
CF=BC-BF=2AD，
FG：BE=CF：BC=2：3，
所以，FG=2x，DG=DF-FG=4x-2x=2x，
G为DF边的中点，
又CE⊥AB，DF∥AB，所以，CG⊥DF，
G为DF边的垂足，
所以，CD=CF，
又CD=AB=DF，
所以，三角形DFC为等边三角形，
所以∠DFC=60°，
所以∠B=∠DFC=60°；

（2）如图，
把梯形ABCD补成平行四边形ABCF，连接AC，
设S_△BCE=3s，S_{四边形AECD}=2s，则DF=2AD，
又设S_△ACD=x，则S_△ACE=2s-x，S_△CDF=2x，
由S_△ABC=S_△ACF，得3s+2s-x=x+2x，则x=

5

4

s，
∴S_△ACE=2S-

5

4

s，
S_△ACE=

3

4

s，
故

BE

AE

=

S△BCE

S△ACE

=

3S

3 4 S

=4．