试题

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，以AC、AD为边作平行四边形ACED，DC的延长线交BE于F．
（1）求证：EF=FB；
（2）S_△BCE能否为S_梯形ABCD的

1

3

？若不能，说明理由；若能，求出AB与CD的关系．

证明：（1）过点B作BG∥AD，交DC的延长线于G，连接EG，
∵DC∥AB，
∴ABGD是平行四边形，
∴BG平行且等于AD．
在四边形ACED中，AD∥CE且AD=CE，
∴CE∥BG且CE=BG．
∴四边形BCEG为平行四边形．
∴EF=FB；

（2）如图作辅助线，延长EC交AB于M，
∵EF=FB．可得S_ECF=S_BCF，设面积为1，
又CF是△EMB的中位线，
∴S_△BCM=S_△EMB-S_△ECB=4-2=2．
又四边形AMCD是平行四边形，
当M是AB的中点时，有S_△ACM=S_△DCM=S_BCM=2，
∴S_ABCD=2+2+2=6，
∴

S△BCE

SABCD

=

1

3

，
∴S_△BCE能为S_梯形ABCD的

1

3

，
此时：AB=2CD．
证明：（1）过点B作BG∥AD，交DC的延长线于G，连接EG，
∵DC∥AB，
∴ABGD是平行四边形，
∴BG平行且等于AD．
在四边形ACED中，AD∥CE且AD=CE，
∴CE∥BG且CE=BG．
∴四边形BCEG为平行四边形．
∴EF=FB；

（2）如图作辅助线，延长EC交AB于M，
∵EF=FB．可得S_ECF=S_BCF，设面积为1，
又CF是△EMB的中位线，
∴S_△BCM=S_△EMB-S_△ECB=4-2=2．
又四边形AMCD是平行四边形，
当M是AB的中点时，有S_△ACM=S_△DCM=S_BCM=2，
∴S_ABCD=2+2+2=6，
∴

S△BCE

SABCD

=

1

3

，
∴S_△BCE能为S_梯形ABCD的

1

3

，
此时：AB=2CD．