试题

题目:
青果学院如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AC,AB⊥AC,BC=BD,E为FD中点,下列结论中:
①∠ADB=30°;②AD=
1
2
BC;③AD=
2
AE;④EB-EC=
2
EA.其中正确的结论是(  )



答案
C
青果学院
解:如图,过A作AM⊥BC于M,过D作DN⊥BC于N,
则AM∥DN,
∵AD∥BC,
∴AM=DN,
∵AB=AC,AB⊥AC,AM⊥BC,
∴∠BAC=90°,
∴AM=
1
2
BC,∠ABC=∠ACB=45°,
∴AB=AC,DN=
1
2
BC,
∵BC=BD,
∴DN=
1
2
BD,
∵∠BAC=90°,
∴∠DBC=30°,
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC=30°,∴①正确;
∵∠BAC=90°,AB=AC,AM⊥BC,
∴AM=
1
2
BC,根据已知不能推出AD=AM,∴②错误;
青果学院
作AQ⊥AE交BD于Q,过A作AR⊥DQ于R,
∵∠ADB=30°,
∴2AR=AD,青果学院
则∠QAE=∠BAC=90°,
∴∠QAE-∠QAF=∠BAC-∠QAE,
∴∠BAQ=∠CAE,
∵∠ABC=45°,∠DBC=30°,
∴∠ABQ=15°,
∵BD=BC,∠DBC=30°,
∴∠BDC=∠BCD=75°,
∵∠ACB=45°,
∴∠DCF=30°,
∵∠AF=15°,∠BAC=90°,
∴∠AFB=75°=∠DFC=∠CDB,
∴CF=CD,
∵E为DF中点,
∴∠ECA=
1
2
∠DCF=15°=∠ABQ,
∵在△ABQ和△ACE中
∠ABQ=∠ACE
AB=AC
∠BAQ=∠CAE

∴△ABQ≌△ACE(ASA),
∴AQ=AE,BQ=CE,
∴在Rt△QAE中,AQ=AE,由勾股定理得:QE=
2
AE,
即EB-EC=
2
AE,∴④正确;
过A作AR⊥DQ于R,
∵∠ADB=30°,
∴2AR=AD,
∵∠QAE=90°,AQ=AE,AR⊥QE,
∴2AR=QE,
∴AD=QE,
在Rt△QAE中,由勾股定理得:QE=
2
AE,
即AD=
2
AE,∴③正确.
故选C.
考点梳理
梯形;含30度角的直角三角形;等腰直角三角形.
过A作AM⊥BC于M,过D作DN⊥BC于N,求出AM=DN=
1
2
BC=
1
2
BD,推出∠DBC=30°,即可判断①;求出AM=
1
2
BC,即可判断②;作AQ⊥AE交BD于Q,证△ABQ≌△ACE,推出BQ=CE,AQ=AE,即可判断④;过A作AR⊥DQ于R,求出AD=QE=,即可判断③.
本题考查了全等三角形的性质和判定,勾股定理,平行线的性质,含30度角的直角三角形性质,等腰三角形的性质和判定等知识点的综合运用,综合性比较强,难度偏大.
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