试题

题目：
青果学院如图，在平行四边形ABCD中，AB=4a，E是BC的中点，BE=2a，∠BAD=120°，P是BD上的动点，则PE+PC的最小值为
2
3
a
2
3
a
．
答案
2
3
a

青果学院解：∵E是BC的中点，BE=2a，
∴BC=2BE=2×2a=4a，
故BC=AC，
∴平行四边形ABCD为菱形．
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD是∠ABC的平分线．
作E关BD的对称点E′，
连接CE′，PE，
则PE=PE′，
此时，PE+PC=PE′+PC=CE′，
CE′即为PE+PC的最小值．
∵∠A=120°，
∴∠ABD=∠ADB=
180°-120°
2
=30°，
∴∠ABC=60°，
又∵BE′=BE，
∴△E′BE为正三角形，EE′=2a，∠ABE=60°，
故EE′=EC，
∠EE′C=∠ECE′=30°，
∴∠BE′C=60°+30°=90°，
在Rt△BCE′中，
CE′=
(4a)2-(2a)2
=2
3
a．
考点梳理
轴对称-最短路线问题；平行四边形的性质；菱形的判定与性质．
根据菱形的判定，得出平行四边形ABCD为菱形，作出E关于BD的对称点E′，转化为线段长度的问题，再根据等边三角形的性质判断出△BCE′为直角三角形，利用勾股定理即可求出CE′的长．
此题考查了轴对称---最短路径问题，内容涉及菱形的性质和判定、等边三角形的性质和判定及勾股定理，综合性较强．
几何综合题．
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