试题

题目：
青果学院（2007·徐州）如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线，所围成的四边形EFGH显然是平行四边形．
（1）当四边形ABCD分别是菱形、矩形、等腰梯形时，相应的平行四边形EFGH一定是“菱形、矩形、正方形”中的哪一种？请将你的结论填入下表：
平行四边形ABCD 菱形 矩形 等腰梯形
平行四边形EFGH      
（2）反之，当用上述方法所围成的平行四边形EFGH分别是矩形、菱形时，相应的原四边形ABCD必须满足怎样的条件？
答案
解：（1）四边形ABCD是菱形时，平行四边形EFGH是矩形，
四边形ABCD是矩形时，平行四边形EFGH是菱形，
四边形ABCD是等腰梯形时，平行四边形EFGH是菱形；

（2）当平行四边形是矩形时，原四边形ABCD必须满足的条件是对角线互相垂直，
当平行四边形是菱形时，原四边形ABCD必须满足的条件是对角线相等．
解：（1）四边形ABCD是菱形时，平行四边形EFGH是矩形，
四边形ABCD是矩形时，平行四边形EFGH是菱形，
四边形ABCD是等腰梯形时，平行四边形EFGH是菱形；

（2）当平行四边形是矩形时，原四边形ABCD必须满足的条件是对角线互相垂直，
当平行四边形是菱形时，原四边形ABCD必须满足的条件是对角线相等．
考点梳理
菱形的判定；矩形的判定；等腰梯形的判定．
（1）原四边形是菱形时，菱形的对角线互相垂直，因此平行四边形应该是个矩形（平行四边形相邻的两边都垂直），
原四边形是矩形或等腰梯形时，它的对角线相等，那么平行四边形应该是个菱形（平行四边形相邻的两边都相等）；
（2）根据（1）我们可看出要想使得出的平行四边形是矩形，那么原四边形的对角线就必须垂直，因为只有这样平行四边形的相邻两边才垂直．同理平行四边形是菱形时，原四边形的对角线就必须相等．
本题主要考查了矩形的性质和判定，菱形的性质和判定，等腰梯形的判定等知识点．
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