试题

（2011·鞍山一模）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=8，CD=10．
（1）求梯形ABCD的面积S；
（2）动点P从点B出发，以2cm/s的速度、沿B→A→D→C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以2cm/s的速度、沿C→D→A方向，向点A运动．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．
问：①当点P在B→A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值，并判断此时PQ是否平分梯形ABCD的面积；若不存在，请说明理由；
②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）过D作DH∥AB交BC于H点，
∵AD∥BH，DH∥AB，
∴四边形ABHD是平行四边形．
∴DH=AB=8；BH=AD=2．
∵CD=10，
∴HC=

CD 2-DH2

=6，
∴BC=BH+CH=8，
∴S_ABCD=

1

2

（AD+BC）AB=

1

2

×（2+8）×8=40．

（2）①∵BP=CQ=2t，
∴AP=8-2t，DQ=10-2t，
∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，
∴8-2t+2+10-2t=2t+8+2t．
∴t=

3

2

＜4．
∴当t=

3

2

秒时，PQ将梯形ABCD周长平分．
QC=3，PB=3，
∵QE∥DH，
∴

QC

DC

=

QE

DH

=

EC

HC

，
∴

3

10

=

QE

8

=

EC

6

，
∴QE=

12

5

，EC=

9

5

，
BE=8-

9

5

=

31

5

，
四边形PBCQ面积=S_梯形QEBP+S_△QEC=

1

2

（PB+QE）×BE+

1

2

QE×EC，
=

1

2

×（

12

5

+3）×

31

5

+

1

2

×

12

5

×

9

5

，
=

189

10

，
=18.9，
所以PQ不平分梯形ABCD的面积．


②第一种情况：当0≤t≤4时．过Q点作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足为E、H．
∵AP=8-2t，AD=2，
∴PD=

AP2+AD2

=

4 t2-32t+68

．
∵CE=

6

5

t，QE=

8

5

t，
∴QH=BE=8-

6

5

t，BH=QE=

8

5

t．
∴PH=2t-

8

5

t=

2

5

t．
∴PQ=

HQ2+PH2

=

(8- 6 5 )2+( 2 5 ) 2

=

8 5 t2- 96 5 t+64

，
DQ=10-2t．
Ⅰ：DQ=DP，10-2t=

4 t2-32t+68

，
解得t=4秒．
Ⅱ：DQ=PQ，10-2t=

8 5 t2- 96 5 t+64

，
化简得：3t²-26t+45=0
解得：t=

13- 34

3

，t=

13+ 34

3

＞4（不合题意舍去），
∴t=

13- 34

3

，
∴第二种情况：4≤t＜5时．DP=DQ=10-2t．
∴当4≤t＜5时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．
第三种情况：5＜t≤6时．DP=DQ=2t-10．
∴当5＜t≤6时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．
综上所述，t=

13- 34

3

或4，4≤t＜5或5＜t≤6时，以DQ为腰的等腰△DPQ成立．
解：（1）过D作DH∥AB交BC于H点，
∵AD∥BH，DH∥AB，
∴四边形ABHD是平行四边形．
∴DH=AB=8；BH=AD=2．
∵CD=10，
∴HC=

CD 2-DH2

=6，
∴BC=BH+CH=8，
∴S_ABCD=

1

2

（AD+BC）AB=

1

2

×（2+8）×8=40．

（2）①∵BP=CQ=2t，
∴AP=8-2t，DQ=10-2t，
∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，
∴8-2t+2+10-2t=2t+8+2t．
∴t=

3

2

＜4．
∴当t=

3

2

秒时，PQ将梯形ABCD周长平分．
QC=3，PB=3，
∵QE∥DH，
∴

QC

DC

=

QE

DH

=

EC

HC

，
∴

3

10

=

QE

8

=

EC

6

，
∴QE=

12

5

，EC=

9

5

，
BE=8-

9

5

=

31

5

，
四边形PBCQ面积=S_梯形QEBP+S_△QEC=

1

2

（PB+QE）×BE+

1

2

QE×EC，
=

1

2

×（

12

5

+3）×

31

5

+

1

2

×

12

5

×

9

5

，
=

189

10

，
=18.9，
所以PQ不平分梯形ABCD的面积．


②第一种情况：当0≤t≤4时．过Q点作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足为E、H．
∵AP=8-2t，AD=2，
∴PD=

AP2+AD2

=

4 t2-32t+68

．
∵CE=

6

5

t，QE=

8

5

t，
∴QH=BE=8-

6

5

t，BH=QE=

8

5

t．
∴PH=2t-

8

5

t=

2

5

t．
∴PQ=

HQ2+PH2

=

(8- 6 5 )2+( 2 5 ) 2

=

8 5 t2- 96 5 t+64

，
DQ=10-2t．
Ⅰ：DQ=DP，10-2t=

4 t2-32t+68

，
解得t=4秒．
Ⅱ：DQ=PQ，10-2t=

8 5 t2- 96 5 t+64

，
化简得：3t²-26t+45=0
解得：t=

13- 34

3

，t=

13+ 34

3

＞4（不合题意舍去），
∴t=

13- 34

3

，
∴第二种情况：4≤t＜5时．DP=DQ=10-2t．
∴当4≤t＜5时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．
第三种情况：5＜t≤6时．DP=DQ=2t-10．
∴当5＜t≤6时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．
综上所述，t=

13- 34

3

或4，4≤t＜5或5＜t≤6时，以DQ为腰的等腰△DPQ成立．