试题

在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠B=90°，∠C=60°，AD=CD，点E在射线BC上，将△ABE沿AE翻折，点B落到点F处，射线EF与射线CD交于点M．
（1）当点M在CD边上时（如图a），求证：FM一DM=

3

3

AB
（2）当点E在BC边的延长线上时（如图b），线段FM、DM、AB的数量关系
（3）在（2）的条件下，过A点作AG⊥CM，垂足为点G，设直线BG与直线AM交于点N，若AD=6，FM=1，求GN的长

解：（1）过点A作AG⊥CD，交CD的延长线于点G，连接AG，AM
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠DAC
∴∠ACB=∠ACD，
∴AG=AB
∵AB=AF，
∴AG=AF
又∵AM=AM，
在Rt△AMG和Rt△AMF中，

AF=AG AM=AM

∴Rt△AMG≌Rt△AMF（HL），
∴FM=GM，
∴FM一DM=GD，
∵∠ADG=∠BCD=60°
∴DG=

3

3

AG，
∴FM-DM=

3

3

AB；

（2）连接AM，AC，作AG⊥MC于点G，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠DAC，
∴∠ACB=∠ACD，
∵AB⊥BC，AG⊥MC，
∴AG=AB
∵AB=AF，
∴AG=AF
又∵AM=AM，
在Rt△AMG和Rt△AMF中，

AF=AG AM=AM

∴Rt△AMG≌Rt△AMF（HL），
∴FM=GM，
∴FM-DM=GD，
∵∠ADG=∠BCD=60°
∴DG=

3

3

AG，
∴DM-FM=

3

3

AB，
故答案为：DM-FM=

3

3

AB；

（3）连接AC，过点M作MH⊥BC于H，过点D作DK⊥BC于K，
∵AD=6，FM=1，
∴KC=3，DK=3

3

，AB=3

3

，BC=9，
又∵（2）知：DM-FM=

3

3

AB，
∴DM=

3

3

×3

3

+1=4，
∴MC=10，HC=5，MH=5

3

，BH=4，
设BE=x，则FE=x，ME=x-1，HE=x-4，
∵MH²+HE²=ME²，
∴（5

3

）²+（x-4）²=（x-1）²，
  解得：x=15，
∴BE=15，CE=6，
∵∠BCG=60°，
∴∠ECG=120°，
由（1）知Rt△AMG≌Rt△AMF，∠BCA=∠ACG=30°，
∴∠MAG=∠MAF，设∠BAE=m°，∠FAM=n°，则∠BAF=m°，∠GAF=2n°，
∴2m-2n=120°，m-n=60°，
∴∠EAM=60°，
又∵∠CAG=60°，
∴∠GAN=∠CAE，
∵∠AGN=∠ACE=150°，
∴△AGN∽△ACE，
∵AG=

1

2

AC，
∴

GN

CE

=

AG

AC

=

1

2

，
∴GN=

1

2

CE=3．