试题

如图1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，CD=3，AD=4，tanB=2，过点C作CH⊥AB，垂足为H．点P为线段AD上一动点，直线PE∥AB，分别交BC、CH于点E、Q．以PE为斜边向右作等腰Rt△PEF，直线EF交直线AB于点M，直线PF交直线AB于点N．设PD的长为x，MN的长为y．
（1）求PE的长（用x表示）；
（2）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围（图2为备用图）；
（3）当点M在线段AH上时，求x的取值范围（图3为备用图）．

解：（1）∵矩形ADCH，PE∥AB，
∴四边形CDPQ为矩形，
∴PQ=CD=3，CQ=PD=x；
∵PE∥CD，∴∠CEP=∠B，∴tan∠CEP=

CQ

EQ

=2；
∴EQ=

x

2

，∴PE=3+

x

2

．

（2）当点N在线段AH上时，过点F作FG⊥EP于G，GF的延长线交AB于点K；
∵等腰Rt△PEF，FG=

1

2

EP=

1

2

（3+

x

2

）=

3

2

+

x

4

，
∴FK=AP-FG=（4-x）-（

3

2

+

x

4

）=

5

2

-

5

4

x；
∴y=2FK=5-

5

2

x；
∵PD+FG≤AD，∴x+

1

2

（3+

x

2

）≤4，
∴0≤x≤2．
当点N在矩形ADCH外部时，由题意得：
AH=3，AP=4-x，QK=QE=

x

2

，∠HKM=∠HMK=45°；
∴KH=MH=4-x-

x

2

=4-

3

2

x；
同理：AP=AN=4-x，
∴y=AH-AN-HM=3-（4-x）-（4-

3

2

x），即y=

5

2

x-5；
∵PD≤4，∴2＜x≤4．

（3）如图，当M、A重合时，AH=HK=3，QE=QK=

x

2

；
∴HK=AP-QK=（4-x）-

1

2

x=4-

3

2

x，
当点M从点A移动到点H时，K与H重合，即0≤KH≤3；
∴0≤4-

3

2

x≤3，解得：

2

3

≤x≤

8

3

；
即当点M在线段AH上时，x的取值范围是

2

3

≤x≤

8

3

．
解：（1）∵矩形ADCH，PE∥AB，
∴四边形CDPQ为矩形，
∴PQ=CD=3，CQ=PD=x；
∵PE∥CD，∴∠CEP=∠B，∴tan∠CEP=

CQ

EQ

=2；
∴EQ=

x

2

，∴PE=3+

x

2

．

（2）当点N在线段AH上时，过点F作FG⊥EP于G，GF的延长线交AB于点K；
∵等腰Rt△PEF，FG=

1

2

EP=

1

2

（3+

x

2

）=

3

2

+

x

4

，
∴FK=AP-FG=（4-x）-（

3

2

+

x

4

）=

5

2

-

5

4

x；
∴y=2FK=5-

5

2

x；
∵PD+FG≤AD，∴x+

1

2

（3+

x

2

）≤4，
∴0≤x≤2．
当点N在矩形ADCH外部时，由题意得：
AH=3，AP=4-x，QK=QE=

x

2

，∠HKM=∠HMK=45°；
∴KH=MH=4-x-

x

2

=4-

3

2

x；
同理：AP=AN=4-x，
∴y=AH-AN-HM=3-（4-x）-（4-

3

2

x），即y=

5

2

x-5；
∵PD≤4，∴2＜x≤4．

（3）如图，当M、A重合时，AH=HK=3，QE=QK=

x

2

；
∴HK=AP-QK=（4-x）-

1

2

x=4-

3

2

x，
当点M从点A移动到点H时，K与H重合，即0≤KH≤3；
∴0≤4-

3

2

x≤3，解得：

2

3

≤x≤

8

3

；
即当点M在线段AH上时，x的取值范围是

2

3

≤x≤

8

3

．