试题

已知等腰△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，将三角板中的90°角的顶点绕D点在△ABC内旋转，角的两边分别与AB、AC交于E、F，且点E、F不与A、B、C三点重合．
（1）如果∠A=90°，求证：DE=DF；
（2）如果DF∥AB，则结论：“四边形AEDF为直角梯形”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请画出草图举反例．

（1）证明：如图1，连接AD，∵∠A=90°，AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，AD=DC，
∴∠EAD=∠C=45°，
∵∠EDF=90°，
∴∠ADE+∠ADF=90°，∠CDF+∠ADF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
∵

∠EAD=∠C=45° AD=CD ∠ADE=∠CDF

，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴DE=DF；

（2）解：结论不成立．
反例如下：如图2，取∠A=90°时，四边形ADEF是矩形，不是直角梯形．
∵DF∥AB，∠EDF=90°，
∴∠AED=180°-90°=90°，
所以，当∠A=90°时，四边形ADEF是矩形，不是直角梯形．
（1）证明：如图1，连接AD，∵∠A=90°，AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，AD=DC，
∴∠EAD=∠C=45°，
∵∠EDF=90°，
∴∠ADE+∠ADF=90°，∠CDF+∠ADF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
∵

∠EAD=∠C=45° AD=CD ∠ADE=∠CDF

，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴DE=DF；

（2）解：结论不成立．
反例如下：如图2，取∠A=90°时，四边形ADEF是矩形，不是直角梯形．
∵DF∥AB，∠EDF=90°，
∴∠AED=180°-90°=90°，
所以，当∠A=90°时，四边形ADEF是矩形，不是直角梯形．