试题

如图，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O为原点建立直角坐标系，A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，8），CB=4，D为OA中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的线路移动，速度为1个单位/秒，移动时间为t秒．
（1）求AB的长，并求当PD将梯形COAB的周长平分时t的值，并指出此时点P在哪条边上；
（2）动点P在从A到B的移动过程中，设△APD的面积为S，试写出S与t的函数关系式，并指出t的取值范围；
（3）几秒后线段PD将梯形COAB的面积分成1：3的两部分？求出此时点P的坐标？

解：（1）点B坐标为（4，8），AB=

(10-4)2+(0-8)2

=10，（1分）
由5+t=

10+10+4+8

2

，得t=11．（1分）
此时点P在CB上；（1分）

（2）解法一：作OF⊥AB于F，BE⊥OA于E，DH⊥AB于H，
则BE=OC=8．
∵AE=OA-BC=10-4=6，
∴AB=

BE2+AE2

=10，
∴AB=OA，
∵OA·BE=AB·OF，
∴OF=BE=8，DH=4．（1分）
∴S=

1

2

×4×t=2t（0＜t＜10）；（1分）
解法二
∵

S△APD

S△ABD

=

AP

AB

，∴

S

1 2 ×5×8

=

t

10

，（1分）
即S=2t（0≤t≤10）；（1分）

（3）点P只能在AB或OC上，
（ⅰ）当点P在AB上时，设点P的坐标为（x，y）．
由S_△APD=

1

4

S梯形COAB，
得

1

2

×5×y=14，得y=

28

5

，
此时t=7．
由(10-x)2+(

28

5

)2=49，得x=

29

5

．
即在7秒时有点P1(5

4

5

，5

3

5

)；（1分）
（ⅱ）当点P在OC上时，设点P的坐标为（0，y）．
由S_△OPD=

1

4

S梯形COAB，
得

1

2

×5×y=14，得y=

28

5

，
此时t=14+(8-

28

5

)=16

2

5

．
即在16

2

5

秒时，有点P2(0，5

3

5

)．（1分）
故在7秒时有点P1(5

4

5

，5

3

5

)，在16

2

5

秒时有点P2(0，5

3

5

)，使PD将梯形COAB的面积分成1：3的两部分．（1分）
解：（1）点B坐标为（4，8），AB=

(10-4)2+(0-8)2

=10，（1分）
由5+t=

10+10+4+8

2

，得t=11．（1分）
此时点P在CB上；（1分）

（2）解法一：作OF⊥AB于F，BE⊥OA于E，DH⊥AB于H，
则BE=OC=8．
∵AE=OA-BC=10-4=6，
∴AB=

BE2+AE2

=10，
∴AB=OA，
∵OA·BE=AB·OF，
∴OF=BE=8，DH=4．（1分）
∴S=

1

2

×4×t=2t（0＜t＜10）；（1分）
解法二
∵

S△APD

S△ABD

=

AP

AB

，∴

S

1 2 ×5×8

=

t

10

，（1分）
即S=2t（0≤t≤10）；（1分）

（3）点P只能在AB或OC上，
（ⅰ）当点P在AB上时，设点P的坐标为（x，y）．
由S_△APD=

1

4

S梯形COAB，
得

1

2

×5×y=14，得y=

28

5

，
此时t=7．
由(10-x)2+(

28

5

)2=49，得x=

29

5

．
即在7秒时有点P1(5

4

5

，5

3

5

)；（1分）
（ⅱ）当点P在OC上时，设点P的坐标为（0，y）．
由S_△OPD=

1

4

S梯形COAB，
得

1

2

×5×y=14，得y=

28

5

，
此时t=14+(8-

28

5

)=16

2

5

．
即在16

2

5

秒时，有点P2(0，5

3

5

)．（1分）
故在7秒时有点P1(5

4

5

，5

3

5

)，在16

2

5

秒时有点P2(0，5

3

5

)，使PD将梯形COAB的面积分成1：3的两部分．（1分）