试题

已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F．
（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长．
（2）求证：ED=BE+FC．

解：（1）∵∠BEC=75°，∠ABC=90°，
∴∠ECB=15°，
∵∠ECD=45°，
∴∠DCF=60°，
在Rt△DFC中：∠DCF=60°，FC=3，
∴DF=3

3

，DC=6，
由题得，四边形ABFD是矩形，
∴AB=DF=3

3

，
∵AB=BC，
∴BC=3

3

，
∴BF=BC-FC=3

3

-3，
∴AD=BF=3

3

-3，
∴C_梯形ABCD=3

3

×2+6+3

3

-3=9

3

+3，
答：梯形ABCD的周长是9

3

+3．

（2）证明：延长EB至G，使BG=CF，连接CG，
∵∠CBG=∠DFC=90°，BC=FD，
∴△BCG≌△FDC，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠DCF=90°，
∴∠2+∠DCF=90°，
∵∠DCE=45°，
∴∠ECG=45°，
∴∠DCE=∠ECG，
∴△DEC≌△EGC，
∴ED=EG，
∴ED=BE+FC．
解：（1）∵∠BEC=75°，∠ABC=90°，
∴∠ECB=15°，
∵∠ECD=45°，
∴∠DCF=60°，
在Rt△DFC中：∠DCF=60°，FC=3，
∴DF=3

3

，DC=6，
由题得，四边形ABFD是矩形，
∴AB=DF=3

3

，
∵AB=BC，
∴BC=3

3

，
∴BF=BC-FC=3

3

-3，
∴AD=BF=3

3

-3，
∴C_梯形ABCD=3

3

×2+6+3

3

-3=9

3

+3，
答：梯形ABCD的周长是9

3

+3．

（2）证明：延长EB至G，使BG=CF，连接CG，
∵∠CBG=∠DFC=90°，BC=FD，
∴△BCG≌△FDC，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠DCF=90°，
∴∠2+∠DCF=90°，
∵∠DCE=45°，
∴∠ECG=45°，
∴∠DCE=∠ECG，
∴△DEC≌△EGC，
∴ED=EG，
∴ED=BE+FC．