试题

（2012·新昌县模拟）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠BAC=90°，AD=CD=6，E是AD上一点，且AE=4，EF⊥AC，垂足为O，交AD，BC于点E，F．
（1）求证：四边形ABFE为平行四边形；
（2）求OF的长；
（3）若点P，M分别是AC，FC的中点，PK⊥PM，交CD于点K，求

PK

CK

的值．

（1）证明：∵EF⊥AC，∠BAC=90°，
∴EF∥AB，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABFE为平行四边形；

（2）解：∵AD=CD=6，∠ADC=90°，
∴AC=6

2

，∠ACD=45°，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=45°，
∵EF⊥AC，∠BAC=90°，
∴△ABC，△OFC都是等腰直角三角形．
∴BC=12，
∵四边形ABFE为平行四边形，
∴BF=AE=4，
∴FC=12-4=8，
∴OF=4

2

；

（3）解：过P作PR⊥BC，垂足为R，作PS⊥DC，垂足为S．
则∠PRM=∠PSK=90°，
∵∠ADC=90°，AD=CD，
∴∠ACD=45°，∠ACM=45°，
∴PR=PS，
∴四边形PRCS是正方形，
∴∠SPR=90°，
又∵PK⊥MP，
∴∠MPR=∠KPS，
在△MPR和△KPS中，
∵

∠MPR=∠KPS PR=PS ∠PRM=∠PSK=90°

，
∴△MPR≌△KPS（ASA），
∴MP=KP，SK=MR，
∵点M是FC的中点，
∴MC=（12-4）÷2=4，
点P是AC的中点，PC=

AC

2

=3

2

，
Rt△PRC中，∠PCR=45°，
∴PR=RC=3，
∴SC=PS=3，
MR=MC-RC=4-3=1，
∴SK=MR=1，
∴CK=SC-SK=3-1=2，
在Rt△PSK中，根据勾股定理，PK=

PS2+SK2

=

32+12

=

10

，
∴

PK

CK

=

10

2

．
（1）证明：∵EF⊥AC，∠BAC=90°，
∴EF∥AB，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABFE为平行四边形；

（2）解：∵AD=CD=6，∠ADC=90°，
∴AC=6

2

，∠ACD=45°，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=45°，
∵EF⊥AC，∠BAC=90°，
∴△ABC，△OFC都是等腰直角三角形．
∴BC=12，
∵四边形ABFE为平行四边形，
∴BF=AE=4，
∴FC=12-4=8，
∴OF=4

2

；

（3）解：过P作PR⊥BC，垂足为R，作PS⊥DC，垂足为S．
则∠PRM=∠PSK=90°，
∵∠ADC=90°，AD=CD，
∴∠ACD=45°，∠ACM=45°，
∴PR=PS，
∴四边形PRCS是正方形，
∴∠SPR=90°，
又∵PK⊥MP，
∴∠MPR=∠KPS，
在△MPR和△KPS中，
∵

∠MPR=∠KPS PR=PS ∠PRM=∠PSK=90°

，
∴△MPR≌△KPS（ASA），
∴MP=KP，SK=MR，
∵点M是FC的中点，
∴MC=（12-4）÷2=4，
点P是AC的中点，PC=

AC

2

=3

2

，
Rt△PRC中，∠PCR=45°，
∴PR=RC=3，
∴SC=PS=3，
MR=MC-RC=4-3=1，
∴SK=MR=1，
∴CK=SC-SK=3-1=2，
在Rt△PSK中，根据勾股定理，PK=

PS2+SK2

=

32+12

=

10

，
∴

PK

CK

=

10

2

．