试题

（2013·杭州一模）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，∠A=60°，AB=2CD，E，F分别为AB，AD的中点，连结EF，EC，BF，CF．
（1）求证△CBE≌△CFE；
（2）若CD=a，求四边形BCFE的面积．

（1）证明：连接DE，
∵E为AB的中点，
∴AB=2AE=2BE，
∵AB=2DC，
∴CD=BE，
∵CD∥AB，∠CBA=90°，
∴四边形CBED是矩形，
∵F为AD中点，∠DEA=90°，
∴EF=AF，
∵∠A=60°，
∴△AEF是正三角形，
∴AE=EF=AF，∠EFA=60°，
∵AE=BE，DF=AF
∴BE=EF=AF，CD=DF，
∴∠CFE=90°=∠CBE，
∵CD∥AB，
∴∠CDF=180°-∠A=120°，
∴∠DFC=30°，
∴∠CFE=90°=∠CBE，
∵在Rt△CBE和Rt△CFE中

CE=CE BE=EF

∴Rt△CBE≌Rt△CFE（HL）；

（2）解：∵CD=a，
∴AE=BE=a，
∵∠A=60°，
∴BC=DE=

3

a，
∴S△BCE=

3

2

a2，
∴S_{四边形BCFE}=2S_△BCE=

3

a²．
（1）证明：连接DE，
∵E为AB的中点，
∴AB=2AE=2BE，
∵AB=2DC，
∴CD=BE，
∵CD∥AB，∠CBA=90°，
∴四边形CBED是矩形，
∵F为AD中点，∠DEA=90°，
∴EF=AF，
∵∠A=60°，
∴△AEF是正三角形，
∴AE=EF=AF，∠EFA=60°，
∵AE=BE，DF=AF
∴BE=EF=AF，CD=DF，
∴∠CFE=90°=∠CBE，
∵CD∥AB，
∴∠CDF=180°-∠A=120°，
∴∠DFC=30°，
∴∠CFE=90°=∠CBE，
∵在Rt△CBE和Rt△CFE中

CE=CE BE=EF

∴Rt△CBE≌Rt△CFE（HL）；

（2）解：∵CD=a，
∴AE=BE=a，
∵∠A=60°，
∴BC=DE=

3

a，
∴S△BCE=

3

2

a2，
∴S_{四边形BCFE}=2S_△BCE=

3

a²．