试题

（2010·陕西）问题探究：
（1）请你在图①中做一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；
（2）如图②点M是矩形ABCD内一点，请你在图②中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分．
问题解决：
（3）如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC∥OB，OB=6，CD=BC=4开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4，2）处．为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的两部分，你认为直线l是否存在？若存在，求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由．

解：（1）如图①．

（2）如图②连接AC、BD交于P则P为矩形对称中心．作直线MP，直线MP即为所求．

（3）如图③存在直线l，
过点D作DA⊥OB于点A，
则点P（4，2）为矩形ABCD的对称中心，
∴过点P的直线只要平分△DOA的面积即可，
易知，在OD边上必存在点H使得PH将△DOA面积平分．
从而，直线PH平分梯形OBCD的面积，
即直线PH为所求直线l
设直线PH的表达式为y=kx+b且点P（4，2），
∴2=4k+b即b=2-4k，
∴y=kx+2-4k，
∵直线OD的表达式为y=2x，
∴

y=kx+2-4k y=2x

，
解得

x= 2-4k 2-k y= 4-8k 2-k

．
∴点H的坐标为（x=

2-4k

2-k

，y=

4-8k

2-k

）
把x=2代入直线PH的解析式y=kx+2-4k，得y=2-2k，
∴PH与线段AD的交点F（2，2-2k），
∴0＜2-2k＜4，
∴-1＜k＜1．
∴S_△DHF=

1

2

（4-2+2k）·（2-

2-4k

2-k

）=

1

2

×

1

2

×2×4，
∴解得k=

13 -3

2

（k=

- 13 -3

2

舍去）．
∴b=8-2

13

，
∴直线l的表达式为y=

13 -3

2

x+8-2

13

．
解：（1）如图①．

（2）如图②连接AC、BD交于P则P为矩形对称中心．作直线MP，直线MP即为所求．

（3）如图③存在直线l，
过点D作DA⊥OB于点A，
则点P（4，2）为矩形ABCD的对称中心，
∴过点P的直线只要平分△DOA的面积即可，
易知，在OD边上必存在点H使得PH将△DOA面积平分．
从而，直线PH平分梯形OBCD的面积，
即直线PH为所求直线l
设直线PH的表达式为y=kx+b且点P（4，2），
∴2=4k+b即b=2-4k，
∴y=kx+2-4k，
∵直线OD的表达式为y=2x，
∴

y=kx+2-4k y=2x

，
解得

x= 2-4k 2-k y= 4-8k 2-k

．
∴点H的坐标为（x=

2-4k

2-k

，y=

4-8k

2-k

）
把x=2代入直线PH的解析式y=kx+2-4k，得y=2-2k，
∴PH与线段AD的交点F（2，2-2k），
∴0＜2-2k＜4，
∴-1＜k＜1．
∴S_△DHF=

1

2

（4-2+2k）·（2-

2-4k

2-k

）=

1

2

×

1

2

×2×4，
∴解得k=

13 -3

2

（k=

- 13 -3

2

舍去）．
∴b=8-2

13

，
∴直线l的表达式为y=

13 -3

2

x+8-2

13

．