试题

题目：
青果学院如图，ABCD为直角梯形（∠B=∠C=90°），且AB=BC，若在边BC上存在一点M，使得△AMD为等边三角形，则
CD
AB
的值为
3
-1
3
-1
．
答案
3
-1

青果学院解：过点D作DH⊥AB于H，
则∠DHA=90°，
∵∠B=∠C=90°
∴四边形DHBC是矩形，
∴DH=BC，BH=DC，
∵BC=AB，
∴DH=BC=AB，
设CD=x，AB=BC=DH=y，CM=z，
在Rt△CDM，Rt△ABM，Rt△ADH中，
DM2=CD2+CM2，①
AM2=AB2+BM2，②
AD2=AH2+DH2，③
当DM=AM=AD时，△AMD为等边三角形，
则CD2+CM2=AB2+BM2，
AB2+BM2=AH2+DH2，
即x2+z2=y2+（y-z）2④，
y2+（y-z）2=y2+（y-x）2⑤，
化简④得：x2=2y2-2yz，
化简⑤得：x=z，
∴x2=2y2-2yx，
即（
x
y
）2+
2x
y
-2=0，
解得：
x
y
=
3
-1，
x
y
=-
3
-1（舍去）．
故
CD
AB
的值为
3
-1．
考点梳理
直角梯形；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理．
首先过点D作DH⊥AB于H，易得四边形DHBC是矩形，即可得DH=BC=AB，BH=DC，然后设CD=x，AB=BC=DH=y，CM=z，在Rt△CDM，Rt△ABM，Rt△ADH中，由勾股定理可得方程组：x2+z2=y2+（y-z）2，y2+（y-z）2=y2+（y-x）2，即可得x2=2y2-2yx，然后方程两边同除以y2，即可得方程（
x
y
）2+
2x
y
-2=0，解此方程即可求得
CD
AB
的值．
此题考查了直角梯形的性质、勾股定理、等边三角形的性质以及方程组的应用．此题难度较大，解题的关键是作出辅助线，利用勾股定理得方程组，化简求得（
x
y
）2+
2x
y
-2=0是解此题的关键．
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