试题

题目：
青果学院如图，在直角梯形ABCD中，AB=BC=4，M为腰BC上一点，且△ADM为等边三角形，则S△CDM：S△ABM=
2：1
2：1
．
答案
2：1

青果学院解：过D点作DF⊥AB交于点F，则四边形BCDF为矩形，CD=BF，DF=CB，
∵△ADF，△DCM，△ABM为直角三角形，△ADM为等边三角形，已知AB=BC=4，
∴AD2=AF2+DF2，①
DM2=CD2+CM2，②
AM2=AB2+BM2，③
设CD=x，CM=y，
则由①②得：x2+y2=42+（4-x）2④，
①③得：42+（x-4）2=42+（4-y）2⑤，
由⑤得x=y，代入④得：
x=4
3
-4；
S△CDM=
1
2
（4
3
-4）2
S△ABM=
1
2
×4×（4-4
3
+4）；
S△CDM：S△ABM=2：1．
故答案填：2：1．
考点梳理
直角梯形；等边三角形的性质．
过D点作DF⊥AB交于点F，根据三个直角三角形的斜边相等，运用勾股定理可求得DC、CM的长，即可解．
本题考查了梯形、矩形、直角三角形、等边三角形的性质，解决此类题要懂得用梯形的常用辅助线，把梯形分割为矩形和直角三角形，从而由矩形和直角三角形的性质来求解．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键．
证明题．
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