试题

如图，两个生物制药厂A与B座落于运河河岸的同一侧．工厂A和B距离河岸l分别为4千米和2千米，两个工厂的距离为6千米．现要在运河的工厂一侧造一点C，在C处拟设立一个货物运输中转站，并建设直线输送带分别到两个工厂和河岸，使直线运送带总长最小．如图建立直角坐标系．

（1）如果要求货物运动中转站C距离河岸l为a千米（a为一个给定的数，0≤a≤2），求C点设在何处时，直线输送带总长S最小，并给出S关于a的表达式．
（2）在0≤a≤2范围内，a取何值时直线输送带总长最小，并求其最小值．

解：（1）如图所示：
过B作直线BE⊥y轴于E点，
∵A和B距离河岸l分别为4千米和2千米，AB=6千米，
∴AE=4-2=2千米，
∴BE=

AB2-AE2

=

62-22

=

32

，
∴A（0，4）、B（

32

，2），
过点B作关于直线l₁的对称点B′，则BF=B′F=2-a，
∴B′点的坐标为（

32

，-2+2a），
∴S=AB′=

32+(-2+2a-4)2

=2

(a-3)2+8

；

（2）由（1）可知，S=2

(a-3)2+8

，
∵0≤a≤2，
∴当a=2时S有最小值，则S=2

1+8

=6（千米）．
故答案为：

(a-3)2+8

，6千米．
解：（1）如图所示：
过B作直线BE⊥y轴于E点，
∵A和B距离河岸l分别为4千米和2千米，AB=6千米，
∴AE=4-2=2千米，
∴BE=

AB2-AE2

=

62-22

=

32

，
∴A（0，4）、B（

32

，2），
过点B作关于直线l₁的对称点B′，则BF=B′F=2-a，
∴B′点的坐标为（

32

，-2+2a），
∴S=AB′=

32+(-2+2a-4)2

=2

(a-3)2+8

；

（2）由（1）可知，S=2

(a-3)2+8

，
∵0≤a≤2，
∴当a=2时S有最小值，则S=2

1+8

=6（千米）．
故答案为：

(a-3)2+8

，6千米．