试题

题目:
青果学院如图,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AE∥CD交BC于E,O是AC的中点,AB=
3
,AD=2,BC=3,下列结论:①∠CAE=30°;②AC=2AB;③S△ADC=2S△ABE;④BO⊥CD,其中正确的是(  )



答案
D
解:在直角三角形ABC中,∵AB=
3
,BC=3,
∴tan∠ACB=
3
3

∴∠ACB=30°.
∴∠BAC=60°,AC=2AB=2
3
.②是正确的
∵AD∥BC,AE∥CD,
∴四边形ADCE是平行四边形.
∴CE=AD=2.
∴BE=1.
在直角三角形ABE中,tan∠BAE=
3
3
,∠BAE=30°.
∴∠CAE=30°.①是正确的
∴AE=2BE=2.
∵AE=CE,
∴平行四边形ADCE是菱形.
∴∠DCE=∠DAE=60°.
∴∠BAE=30°
又∵∠CAE=30°
∴∠BAO=60°
又∵AB=AO
∴△AOB是等边三角形,
∴∠ABO=60°.
∴∠OBE=30°.
∴BO⊥CD.④是正确的.
∵AD∥BC,AD=2BE.
∴S△ADC=2S△ABE,③是正确的.
∴①②③④都是正确的,故选D.
考点梳理
直角梯形.
根据梯形的性质和直角三角形中的边角关系,逐个进行验证,即可得出结论.
此题综合运用了直角三角形的性质以及菱形的性质.注意两条平行线间的距离处处相等.
压轴题.
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