试题

题目：
青果学院如图，⊙O的直径AB=4，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于E，交AM于D，交BN于C．设四边形ABCD的面积为S，则S的取值范围为
S≥8
S≥8
．
答案
S≥8

青果学院解：∵AB是直径，AM、BN是切线，
∴AM⊥AB，BN⊥AB，
∴AM∥BN，
过点D作DF⊥BC于F，则AB∥DF，
∴四边形ABFD为矩形．
∴DF=AB=4，BF=AD=x，
∵DE、DA，CE、CB都是切线，
∴根据切线长定理，得DE=DA=x，CE=CB=y，
在Rt△DFC中，DF=4，DC=DE+CE=x+y，CF=BC-BF=y-x，
∴（x+y）2=42+（y-x）2，
化简，得y=
4
x
（x＞0）．
则四边形的面积S=
1
2
AB（AD+BC）=
1
2
×4×（x+
4
x
），即S=2（x+
4
x
）=2x+
8
x
（x＞0）．
∵2x+
8
x
≥2
16
=8，当且仅当x=2时，等号成立．
∴x+
4
x
≥8，即S≥8．
故答案为：S≥8
考点梳理
切线的性质．
根据切线的性质得到它们都和直径垂直，得到AM与NB平行，作直角梯形的另一高，构造一个直角三角形，根据切线长定理和勾股定理列方程，再表示出关于y的函数关系式；根据直角梯形的面积公式表示梯形的面积，再根据基本不等式即可求出S的范围．
此题考查了切线的性质，勾股定理，梯形的面积公式，矩形的判定与性质，基本不等式的运用，以及切线长定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
计算题．
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