试题

题目：
（2005·哈尔滨）已知：如图，AB是⊙O的直径，点P为BA延长线上一点，PC为⊙O的切线，C为青果学院切点，BD⊥PC，垂足为D，交⊙O于E，连接AC、BC、EC．
（1）求证：BC2=BD·BA；
（2）若AC=6，DE=4，求PC的长．
答案
（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，
∵PC为⊙O的切线，
∴∠BCD=∠BAC，（1分）
∵BD⊥PD，
∴∠BDP=∠BCA=90，
∴Rt△BDC∽Rt△BCA，（1分）
∴
BC
BA
=
BD
BC
，
∴BC2=BD·BA．（1分）

（2）解：∵Rt△BDC∽Rt△BCA，
∴∠DBC=∠CBA，
∴EC=AC，
∴EC=AC=6，
∵∠DBC=∠CBA，
∴∠DCE=∠CBA，
∴Rt△CED∽Rt△BAC，
∴
DE
EC
=
AC
AB
=
4
6
=
2
3
，
∴AB=9，（1分）
由勾股定理得BC=
AB2-AC2
=3
5
，
∵∠PCA=∠PBC，∠P=∠P，
∴△PCA∽△PBC，
∴
AC
BC
=
PA
PC
=
6
3
5
，（1分）
设PA=6m，则PC=3
5
m，
由切割线定理得PC2=PA·PB，
∴45m2=6m（6m+9），
解得m=6，
∴PC=18
5
．（1分）
（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，
∵PC为⊙O的切线，
∴∠BCD=∠BAC，（1分）
∵BD⊥PD，
∴∠BDP=∠BCA=90，
∴Rt△BDC∽Rt△BCA，（1分）
∴
BC
BA
=
BD
BC
，
∴BC2=BD·BA．（1分）

（2）解：∵Rt△BDC∽Rt△BCA，
∴∠DBC=∠CBA，
∴EC=AC，
∴EC=AC=6，
∵∠DBC=∠CBA，
∴∠DCE=∠CBA，
∴Rt△CED∽Rt△BAC，
∴
DE
EC
=
AC
AB
=
4
6
=
2
3
，
∴AB=9，（1分）
由勾股定理得BC=
AB2-AC2
=3
5
，
∵∠PCA=∠PBC，∠P=∠P，
∴△PCA∽△PBC，
∴
AC
BC
=
PA
PC
=
6
3
5
，（1分）
设PA=6m，则PC=3
5
m，
由切割线定理得PC2=PA·PB，
∴45m2=6m（6m+9），
解得m=6，
∴PC=18
5
．（1分）
考点梳理
切线的性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
（1）要求证：BC2=BD·BA，可以转化为求证Rt△BDC∽Rt△BCA的问题；
（2）求PC的长，根据切割线定理得到PC2=PA·PB，可以转化为求AP，PB的问题，根据Rt△CED∽Rt△BAC和△PCA∽△PBC就可以求出．
命题立意：此题作为压轴题，综合考查圆的切线，三角形相似的判定与性质等知识．此题是一个大综合题，难度较大，有利于培养同学们的钻研精神和坚韧不拔的意志品质．
几何综合题．
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