试题

（2005·泰州）如图，AB切⊙O于点B，OA交⊙O于C点，过C作DC⊥OA交AB于D，且BD：AD=1：2．
（1）求∠A的正切值；
（2）若OC=1，求AB及

BC

的长．

解：（1）（方法一）∵DC⊥OA，OC为半径．
∴DC为⊙O的切线；
∵AB为⊙O的切线，∴DC=DB；
在Rt△ACD中，
∵sinA=

DC

AD

，BD：AD=1：2，
∴sinA=

1

2

；∴∠A=30°，
∴tanA=

3

3

．
（方法二）∵DC⊥OA，OC为半径．
∴DC为⊙O的切线；
∵AB为⊙O的切线，∴DC=DB；
∵BD：AD=1：2，∴CD：AD=1：2；
∴设CD=k，AD=2k；
∴AC=

3

k；
∴tanA=

DC

AC

=

3

3

．

（2）连接OB；
∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB．
在Rt△AOB中，
∵tanA=

OB

AB

，OB=1；
∴AB=

3

∵∠A=30°，∴∠O=60°；
∴

BC

的长=

π

3

．
解：（1）（方法一）∵DC⊥OA，OC为半径．
∴DC为⊙O的切线；
∵AB为⊙O的切线，∴DC=DB；
在Rt△ACD中，
∵sinA=

DC

AD

，BD：AD=1：2，
∴sinA=

1

2

；∴∠A=30°，
∴tanA=

3

3

．
（方法二）∵DC⊥OA，OC为半径．
∴DC为⊙O的切线；
∵AB为⊙O的切线，∴DC=DB；
∵BD：AD=1：2，∴CD：AD=1：2；
∴设CD=k，AD=2k；
∴AC=

3

k；
∴tanA=

DC

AC

=

3

3

．

（2）连接OB；
∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB．
在Rt△AOB中，
∵tanA=

OB

AB

，OB=1；
∴AB=

3

∵∠A=30°，∴∠O=60°；
∴

BC

的长=

π

3

．