试题

题目：
（2003·山西）已知：如图AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，PF分别交AB青果学院、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是关于x的方程x2-6x+（m2+4m+13）=0（其中m为实数）的两根．
（1）求证：BE=BD．
（2）若GE·EF=6
3
，求∠A的度数．
答案
（1）证明：∵BE、BD是关于x的方程x2-6x+（m2+4m+13）=0的两根，
∴△=（-6）2-4（m2+4m+13）=-4（m+2）2≥0，∴m=-2，（2分）
原方程为x2-6x+9=0，
解之，得x1=x2=3，
∴BE=BD=3；（4分）

（2）解：由相交弦定理得AE·BE=GE·FE=6
3

∴AE=2
3
（5分）
∵PB切⊙O于点B，AB为⊙O的直径
∴∠ABP=∠ACB=90°
又∵BE=BD=3，
∴∠1=∠2
∵∠1=∠A+∠4，∠2=∠3+∠5
又∵∠5=∠A，
∴∠3=∠4（7分）
方法一：易证△PBD∽△PAE，
∴
BD
AE
=
PD
PE

△PDC∽△PEB
∴
DC
EB
=
PD
PE
（9分）
∴
BD
AE
=
DC
EB
，DC=
BD·EB
AE
=
3×3
2
3
=
3
3
2
（10分）
在Rt△ACB中，sinA=
BC
AB
=
3+
3
3
2
3+2
3
=
6+3
3
6+4
3
=
3(2+
3
)
2
3
(
3
+2)
=
3
2

∴∠A=60°；（12分）

方法二：易证△PBC∽△PAB，
∴
BC
AB
=
PB
PA

∵△PBD∽△PAE
∴
BD
AE
=
PB
PA
（9分）
∴
BC
AB
=
BD
AE
（10分）
sin∠A=
BC
AB
=
BD
AE
=
3
2
3
=
3
2

∴∠A=60°（12分）
（1）证明：∵BE、BD是关于x的方程x2-6x+（m2+4m+13）=0的两根，
∴△=（-6）2-4（m2+4m+13）=-4（m+2）2≥0，∴m=-2，（2分）
原方程为x2-6x+9=0，
解之，得x1=x2=3，
∴BE=BD=3；（4分）

（2）解：由相交弦定理得AE·BE=GE·FE=6
3

∴AE=2
3
（5分）
∵PB切⊙O于点B，AB为⊙O的直径
∴∠ABP=∠ACB=90°
又∵BE=BD=3，
∴∠1=∠2
∵∠1=∠A+∠4，∠2=∠3+∠5
又∵∠5=∠A，
∴∠3=∠4（7分）
方法一：易证△PBD∽△PAE，
∴
BD
AE
=
PD
PE

△PDC∽△PEB
∴
DC
EB
=
PD
PE
（9分）
∴
BD
AE
=
DC
EB
，DC=
BD·EB
AE
=
3×3
2
3
=
3
3
2
（10分）
在Rt△ACB中，sinA=
BC
AB
=
3+
3
3
2
3+2
3
=
6+3
3
6+4
3
=
3(2+
3
)
2
3
(
3
+2)
=
3
2

∴∠A=60°；（12分）

方法二：易证△PBC∽△PAB，
∴
BC
AB
=
PB
PA

∵△PBD∽△PAE
∴
BD
AE
=
PB
PA
（9分）
∴
BC
AB
=
BD
AE
（10分）
sin∠A=
BC
AB
=
BD
AE
=
3
2
3
=
3
2

∴∠A=60°（12分）
考点梳理
相交弦定理；根的判别式；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质．
（1）要证明BE=BD，就要根据BE、BD恰好是关于x的方程x2-6x+（m2+4m+13）=0（其中m为实数）的两根，来判断，是它的两根，可见此方程有根，所以求出△，必须≥0．利用这求出m的值．从而求出这个方程的一般式，然后解方程求出根，即是BE、BD的长度；
（2）要求∠A的度数就要利用直角三角形的角边关系，求出在Rt△ACB中sinA的值，要求sinA的值，就要求BC，AB的值．这就要利用题中给出的条件利用相似三角形来求．
本题综合考查了学生圆的有关知识，及一元二次方程根的判别式的性质．本题的综合性质很强，所以学生在学习时思维一定要开阔，要把各知识系统起来．
代数几何综合题；数形结合．
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