试题

（2003·厦门）如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O₁与⊙O的弦AC相交于点D．
（1）设弧BC的长为m₁，弧OD的长为m₂，求证：m₁=2m₂；
（2）若BD与⊙O₁相切，求证：BC=

2

AD．

证明：（1）连接OC，O₁D．
∵∠COB=2∠CAB，∠DO₁O=2∠DAO，
∴∠COB=∠DO₁O记∠COD的度数为n，
则∠DO₁O的度数也为n，
设⊙O₁的半径为r，⊙O的半径为R，
由题意得，R=2r，
∴m₁=

nπR

180

=

2nπr

180

=2m₂．

（2）连接OD，
∵BD是⊙O₁的切线，
∴BD⊥O₁D．
∴∠BDO₁=90°．
而∴∠CBD+∠BDC=90°，∠ADO₁=∠CBD，
又∵∠DAO₁=∠ADO₁，
∴∠DAO₁=∠CBD，
∴△ACB∽△BCD
∴

AC

BC

=

BC

CD

∵AO是⊙O₁的直径，
∴∠ADO=90°．
∴OD⊥AC．
∴D是AC的中点，即AC=2CD=2AD．
∴BC²=AC·CD=2AD²，
∴BC=

2

AD．
证明：（1）连接OC，O₁D．
∵∠COB=2∠CAB，∠DO₁O=2∠DAO，
∴∠COB=∠DO₁O记∠COD的度数为n，
则∠DO₁O的度数也为n，
设⊙O₁的半径为r，⊙O的半径为R，
由题意得，R=2r，
∴m₁=

nπR

180

=

2nπr

180

=2m₂．

（2）连接OD，
∵BD是⊙O₁的切线，
∴BD⊥O₁D．
∴∠BDO₁=90°．
而∴∠CBD+∠BDC=90°，∠ADO₁=∠CBD，
又∵∠DAO₁=∠ADO₁，
∴∠DAO₁=∠CBD，
∴△ACB∽△BCD
∴

AC

BC

=

BC

CD

∵AO是⊙O₁的直径，
∴∠ADO=90°．
∴OD⊥AC．
∴D是AC的中点，即AC=2CD=2AD．
∴BC²=AC·CD=2AD²，
∴BC=

2

AD．