试题

题目：
青果学院（1998·河北）已知：如图△ABC中，∠A的平分线AD交BC于D，⊙O过点A，且与BC相切于D，与AB、AC分别相交于E、F，AD与EF相交于G．
（1）求证：AF·FC=GF·DC；
（2）已知AC=6cm，DC=2cm，求FC、GF的长．
答案
（1）证明：连接DF，青果学院
∵AD是△ABC的角平分线，BC是⊙O的切线，∠CDF=∠EFD=∠DAC=∠EAD，
∴EF∥BC．
∴∠C=∠AFE．
∴△AFG∽△DCF，
∴
AF
DC
=
GF
CF
，
即AF·FC=GF·DC；

（2）解：∵BC是⊙O的切线，
∴CD2=CF·AC，
∵AC=6cm，DC=2cm，
∴CF=
2
3
，
∴AF=AC-CF=
16
3

∵△AFG∽△DCF，
∴
AF
DC
=
GF
CF
，
∴
16
3
2
=
GF
2
3
，
∴GF=
16
9
．
（1）证明：连接DF，青果学院
∵AD是△ABC的角平分线，BC是⊙O的切线，∠CDF=∠EFD=∠DAC=∠EAD，
∴EF∥BC．
∴∠C=∠AFE．
∴△AFG∽△DCF，
∴
AF
DC
=
GF
CF
，
即AF·FC=GF·DC；

（2）解：∵BC是⊙O的切线，
∴CD2=CF·AC，
∵AC=6cm，DC=2cm，
∴CF=
2
3
，
∴AF=AC-CF=
16
3

∵△AFG∽△DCF，
∴
AF
DC
=
GF
CF
，
∴
16
3
2
=
GF
2
3
，
∴GF=
16
9
．
考点梳理
切线的性质；相似三角形的判定与性质．
（1）根据要证明的线段之间的关系，显然可以构造到三角形AFG和三角形DCF中，根据弦切角定理以及圆周角定理的推论发现∠FDC=∠EFD，则EF∥BC，得到∠AFE=∠C，根据两个角对应相等得到两个三角形相似，从而证明结论．
（2）由切割线定理即可求出CF的长，根据三角形相似即可求出GF的长．
本题考查弦切角定理、圆周角定理以及切割线定理的运用，此类题一般首先能够把线段放到两个三角形中，熟练运用相似三角形的判定和性质．
压轴题．
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