试题

题目：
（2011·孝感模拟）如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE是⊙O的切线且DE⊥AB，垂足青果学院为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．
（1）求证：AB=AC；
（2）若⊙O的半径为3，BE=1，求tanF的值．
答案
青果学院（1）证明：连接OD．
∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，
∵DE⊥AB，∴OD∥AB，
∴∠ODC=∠B．
∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，
∴∠B=∠OCD，
∴AB=AC；

（2）解：由（1）可知，OD∥AE，
∴
FO
FA
=
OD
AE
，
∴
FC+OC
FC+AC
=
OD
AB-BE

∴
FC+3
FC+6
=
3
6-1

∴FC=
3
2
，OF=
9
2
．
在△OFD中，∵OF2=OD2+FD2，
∴OD=
3
2
5
，
∴tanF=
OD
DF
=
3
3
2
5
=
2
5
5
．
青果学院（1）证明：连接OD．
∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，
∵DE⊥AB，∴OD∥AB，
∴∠ODC=∠B．
∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，
∴∠B=∠OCD，
∴AB=AC；

（2）解：由（1）可知，OD∥AE，
∴
FO
FA
=
OD
AE
，
∴
FC+OC
FC+AC
=
OD
AB-BE

∴
FC+3
FC+6
=
3
6-1

∴FC=
3
2
，OF=
9
2
．
在△OFD中，∵OF2=OD2+FD2，
∴OD=
3
2
5
，
∴tanF=
OD
DF
=
3
3
2
5
=
2
5
5
．
考点梳理
切线的性质；勾股定理；圆周角定理；平行线分线段成比例；锐角三角函数的定义．
（1）连接OD，由DE是⊙O的切线，得OD⊥DE，再根据DE⊥AB，得OD∥AB，从而得出∠ODC=∠B，即可得出∠B=∠ODC，则AB=AC；
（2）由（1）可知，OD∥AE，则
FO
FA
=
OD
AE
，代入数据求出FC=
3
2
，OF=
9
2
，再由勾股定理，得OD=
3
2
5
，从而得出tanF的值．
本题考查了切线的性质、勾股定理、圆周角定理、平行线分线段成比例定理以及锐角三角函数的定义，是基础知识要熟练掌握．
计算题；压轴题．
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