试题

（2012·花都区一模）如图，AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，连接AC，过点O作AC的垂线交AC于点D，交⊙O于点E．已知AB﹦8，∠P=30°．
（1）求线段PC的长；
（2）求阴影部分的面积．

解：（1）连接OC，
∵PC切⊙O于点C，
∴OC⊥PC，
∵AB=8，
∴OC=

1

2

AB=4，
又在直角三角形OCP中，∠P=30°，
∴tanP=tan30°=

OC

PC

，
即PC=

4

3 3

=4

3

；

（2）∵∠OCP=90°，∠P=30°，
∴∠COP=60°，
∴∠AOC=120°，
又AC⊥OE，OA=OC，
∴OD为∠AOC的平分线，
∴∠COE=

1

2

∠AOC=60°，又半径OC=4，
∴S_扇形OCE=

60π×42

360

=

8π

3

，
在Rt△OCD中，∠COD=60°，
∴∠OCD=30°，
∴OD=

1

2

OC=2，
根据勾股定理得：CD=

OC2-OD2

=2

3

，
∴S_△OCD=

1

2

DC·OD=

1

2

×2

3

×2=2

3

，
则S_阴影=S_扇形OCE-S_△OCD=

8π

3

-2

3

．
解：（1）连接OC，
∵PC切⊙O于点C，
∴OC⊥PC，
∵AB=8，
∴OC=

1

2

AB=4，
又在直角三角形OCP中，∠P=30°，
∴tanP=tan30°=

OC

PC

，
即PC=

4

3 3

=4

3

；

（2）∵∠OCP=90°，∠P=30°，
∴∠COP=60°，
∴∠AOC=120°，
又AC⊥OE，OA=OC，
∴OD为∠AOC的平分线，
∴∠COE=

1

2

∠AOC=60°，又半径OC=4，
∴S_扇形OCE=

60π×42

360

=

8π

3

，
在Rt△OCD中，∠COD=60°，
∴∠OCD=30°，
∴OD=

1

2

OC=2，
根据勾股定理得：CD=

OC2-OD2

=2

3

，
∴S_△OCD=

1

2

DC·OD=

1

2

×2

3

×2=2

3

，
则S_阴影=S_扇形OCE-S_△OCD=

8π

3

-2

3

．