试题

（2012·开封一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，斜边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接BE．
（1）若BE是△DEC的外接圆的切线，求∠C的大小；
（2）当AB=1，AC=2时，求△DEC的外接圆的半径．

解：（1）∵DE垂直平分AC，
∴∠DEC=90°，
∴DC是⊙O的直径，
∴O在DC上，
连接OE，
∵BE是⊙O的切线，
∴∠OEB=90°，
∴∠EBO+∠BOE=90°，
在Rt△ABC中，E为斜边AC的中点，
∴BE=EC=AE=

1

2

AC（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），
∴∠EBO=∠C，
∵OC=OE，
∴∠C=∠CEO，
∵∠BOE=∠C+∠CEO，
∴∠BOE=2∠C，
∵∠EBO+∠BOE=90°，∠EBO=∠C
∴∠C+2∠C=90°，
∴∠C=30°；

（2）在Rt△ABC中，BC=

AC2-AB2

=

3

，
EC=

1

2

AC=1，
∵∠ABC=∠DEC=90°，∠C=∠C，
∴△DEC∽△ABC，
∴

AC

DC

=

BC

EC

，
∴

2

DC

=

3

1

，
∴DC=

2 3

3

，
∴△DEC的外接圆的半径是

3

3

．
解：（1）∵DE垂直平分AC，
∴∠DEC=90°，
∴DC是⊙O的直径，
∴O在DC上，
连接OE，
∵BE是⊙O的切线，
∴∠OEB=90°，
∴∠EBO+∠BOE=90°，
在Rt△ABC中，E为斜边AC的中点，
∴BE=EC=AE=

1

2

AC（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），
∴∠EBO=∠C，
∵OC=OE，
∴∠C=∠CEO，
∵∠BOE=∠C+∠CEO，
∴∠BOE=2∠C，
∵∠EBO+∠BOE=90°，∠EBO=∠C
∴∠C+2∠C=90°，
∴∠C=30°；

（2）在Rt△ABC中，BC=

AC2-AB2

=

3

，
EC=

1

2

AC=1，
∵∠ABC=∠DEC=90°，∠C=∠C，
∴△DEC∽△ABC，
∴

AC

DC

=

BC

EC

，
∴

2

DC

=

3

1

，
∴DC=

2 3

3

，
∴△DEC的外接圆的半径是

3

3

．