试题

题目：
青果学院（2013·樊城区模拟）如图，已知△ABC内接于⊙O，弦AD交BC于E，过点D的切线MN交直线AB于M，交直线AC于N．
（1）求证：AE·DE=BE·CE；
（2）连接DB，CD，若MN∥BC，试探究BD与CD的数量关系；
（3）在（2）的条件下，已知AB=6，AN=15，求AD的长．

答案
（1）证明：∵连接CD，在⊙O中，青果学院
∵∠ABC=∠ADC，∠1=∠3，
∴△ABE∽△CDE，
∴
AE
CE
=
BE
DE

∵AE·DE=BE·CE；           
解：（2）BD=CD，
理由：连接OD、BD，
∵MN切⊙O于点D，
∴OD⊥MN，
∵MN∥BC，
∴OD⊥BC，
∴在⊙O中，
BD
=
CD
，
∴BD=CD；                          
（3）∵在⊙O中，
BD
=
CD
，
∴∠1=∠2，
在⊙O中，
∵∠ADB=∠4，
∵MN∥BC，
∴∠C=∠4，
∴∠ADB=∠C，
∴△ABD∽△ADN，
∴
AB
AD
=
AD
AN
，
∴AD2=AB·AN=6×15=90，
∴AD=3
10
．
（1）证明：∵连接CD，在⊙O中，青果学院
∵∠ABC=∠ADC，∠1=∠3，
∴△ABE∽△CDE，
∴
AE
CE
=
BE
DE

∵AE·DE=BE·CE；           
解：（2）BD=CD，
理由：连接OD、BD，
∵MN切⊙O于点D，
∴OD⊥MN，
∵MN∥BC，
∴OD⊥BC，
∴在⊙O中，
BD
=
CD
，
∴BD=CD；                          
（3）∵在⊙O中，
BD
=
CD
，
∴∠1=∠2，
在⊙O中，
∵∠ADB=∠4，
∵MN∥BC，
∴∠C=∠4，
∴∠ADB=∠C，
∴△ABD∽△ADN，
∴
AB
AD
=
AD
AN
，
∴AD2=AB·AN=6×15=90，
∴AD=3
10
．
考点梳理
切线的性质；相似三角形的判定与性质．
（1）连接CD，利用已知条件证明△ABE∽△CDE，由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可证明：AE·DE=BE·CE；
（2）BD和CD的数量关系是BD=CD，根据切线的性质和平行线的性质证明，
BD
=
CD
即可；
（3）首先证明△ABD∽△ADN，所以可得：
AB
AD
=
AD
AN
，即AD2=AB·AN问题得解．
本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过相似三角形的性质得出．
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