试题

题目：
青果学院（2013·荔湾区模拟）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠AOB=120°．
（1）求∠APB的度数；
（2）当OA=6时，求AP的长．
答案
青果学院解：如右图所示，
（1）∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
又∵∠AOB=120°，
∴∠PAB=360°-120°-90°-90°=60°；

（2）连接OP，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，
又∵∠OAP=∠OBP=90°，OA=OB，
∴△AOP≌△BOP，
∴∠APO=∠BPO，
∵∠APB=60°，
∴∠APO=∠BPO=30°，
在Rt△OAP中，∠APO=30°，OA=6，
∴OP=12，
∴AP=
OP2-OA2
=6
3
．
青果学院解：如右图所示，
（1）∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
又∵∠AOB=120°，
∴∠PAB=360°-120°-90°-90°=60°；

（2）连接OP，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，
又∵∠OAP=∠OBP=90°，OA=OB，
∴△AOP≌△BOP，
∴∠APO=∠BPO，
∵∠APB=60°，
∴∠APO=∠BPO=30°，
在Rt△OAP中，∠APO=30°，OA=6，
∴OP=12，
∴AP=
OP2-OA2
=6
3
．
考点梳理
切线的性质；解直角三角形．
（1）由于PA、PB是⊙O的切线，于是∠OAP=∠OBP=90°，而∠AOB=120°，利用四边形内角和等于360°，可求∠PAB；
（2）连接OP，由于PA、PB是⊙O的切线，那么PA=PB，而∠OAP=∠OBP=90°，OA=OB，利用SAS可证∴△AOP≌△ABP，于是∠APO=∠BPO，结合∠PAB=60°，易求∠APO=∠BPO=30°，在Rt△OAP中，易求OP，再利用勾股定理可求AP．
本题考查了切线的性质、四边形的内角和、全等三角形的判定和性质、直角三角形30°的角所对边等于斜边的一半、勾股定理．解题的关键是连接OP，构造全等三角形．
计算题；证明题．
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