试题

题目：
青果学院（2012·深圳模拟）如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点E，交AD边于点F，则
FE
EC
=
1
4
1
4
．
答案
1
4

青果学院解：连接OE、OF、OC．
∵AD、CF、CB都与⊙O相切，
∴CE=CB；OE⊥CF； OF平分∠AFC，OC平分∠BCF．
∵AF∥BC，
∴∠AFC+∠BCF=180°，
∴∠OFC+∠OCF=90°，
∴∠COF=90°．
∴△EOF∽△EOC，得 OE2=EF·EC．
设正方形边长为a，则OE=
1
2
a，CE=a．
∴EF=
1
4
a．
∴
EF
EC
=
1
4
．
故答案为
1
4
．
考点梳理
切线的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．
连接OE、OF、OC，根据切线长定理证明∠COF=90°；根据切线的性质得OE⊥CF．则△EOF∽△EOC，得EF与EC的关系式，然后求解．
此题考查切线的性质和切线长定理及相似三角形的判定与性质，综合性较强，有相当的难度．
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