试题

（2010·广州一模）如图，已知AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，过点A作直线l的垂线，垂足为点D，连接AC．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AD=3，AC=2

3

，求直径AB的长．

（1）证明：连接OC，直线l与⊙O相切于点C
∴OC⊥l，（1分）
∵AD⊥l，
∴OC∥AD，（2分）
∴∠1=∠2，（3分）
又∵OA=OC，
∴∠2=∠3，（4分）
∴∠1=∠3，（5分）
即AC平分∠DAB．（6分）

（2）解法一：连接BC，∵AB是直径，
∴∠ACB=90°=∠ADC（7分），
由（1）知，∠1=∠3
∴△ADC∽△ACB，（9分）
∴

AD

AC

=

AC

AB

，（10分）AB=

AC2

AD

=

(2 3 )2

3

=4
∴直径AB的长是4．（12分）
解法二：在Rt△ADC中，AD=3，AC=2

3

，
∴cos∠1=

3

2 3

=

3

2

，（8分）
即∠1=30°，（9分）
由（1）知，∠3=∠1=30°，
连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，（10分）
在Rt△ABC中，cos∠3=

AC

AB

，（11分）cos30°=

2 3

AB

，AB=4
∴直径AB的长是4．（12分）
评分细则：第2问解法较多，其它解法参照本评分说明分步给分；
（1）证明：连接OC，直线l与⊙O相切于点C
∴OC⊥l，（1分）
∵AD⊥l，
∴OC∥AD，（2分）
∴∠1=∠2，（3分）
又∵OA=OC，
∴∠2=∠3，（4分）
∴∠1=∠3，（5分）
即AC平分∠DAB．（6分）

（2）解法一：连接BC，∵AB是直径，
∴∠ACB=90°=∠ADC（7分），
由（1）知，∠1=∠3
∴△ADC∽△ACB，（9分）
∴

AD

AC

=

AC

AB

，（10分）AB=

AC2

AD

=

(2 3 )2

3

=4
∴直径AB的长是4．（12分）
解法二：在Rt△ADC中，AD=3，AC=2

3

，
∴cos∠1=

3

2 3

=

3

2

，（8分）
即∠1=30°，（9分）
由（1）知，∠3=∠1=30°，
连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，（10分）
在Rt△ABC中，cos∠3=

AC

AB

，（11分）cos30°=

2 3

AB

，AB=4
∴直径AB的长是4．（12分）
评分细则：第2问解法较多，其它解法参照本评分说明分步给分；