试题

题目：
青果学院（2010·武昌区模拟）已知如图，点P是⊙O的直径BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，连接CA，CB．
（1）求证：∠PCA=∠CBA；
（2）作CD⊥AB，垂足是D．求证：PA·PB=PD·PO．
答案
青果学院证明：（1）连接OC，∵PC切⊙O于点C，∠PCO=90°
∵BA是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠PCA=∠OCB=∠CBA；

（2）∵∠PCA=∠CBA，且∠P是公共角，
∴△PBC∽△PCA，
∴
PC
PA
=
PB
PC

即PC2=PA·PB，
∵CD是直角△POC斜边上的高，
∴△PCD∽△POC；
∴
PC
PD
=
PO
PC
，
即PC2=PD·PO，
∴PA·PB=PD·PO．
青果学院证明：（1）连接OC，∵PC切⊙O于点C，∠PCO=90°
∵BA是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠PCA=∠OCB=∠CBA；

（2）∵∠PCA=∠CBA，且∠P是公共角，
∴△PBC∽△PCA，
∴
PC
PA
=
PB
PC

即PC2=PA·PB，
∵CD是直角△POC斜边上的高，
∴△PCD∽△POC；
∴
PC
PD
=
PO
PC
，
即PC2=PD·PO，
∴PA·PB=PD·PO．
考点梳理
切线的性质；相似三角形的判定与性质．
（1）线连接OC，由已知PC切⊙O于点C可推出∠PCO=90°，再由AB是直径推出∠ACB=90°，所以∠PCA和∠CBA与∠AOC的和都是
90°通过等量代换得证；
（2）由已知通过证明△PBC∽△PCA和△PCD∽△POC得出结论；
此题考查的知识点是切线的性质和相似三角形的判定、性质．关键是：
（1）由直径、切线得出两个直角通过等量代换得证，
（2）由已知通过证明△PBC∽△PCA和△PCD∽△POC得出结论；
证明题．
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