试题

题目：
青果学院（2011·常熟市模拟）如图，AE是⊙O的切线，切点为A，BC∥AE，BD平分∠ABC交AE于点D，交AC于点F
（1）求证：AC=AD；
（2）若BC=
3
，FC=
3
2
，求AB长．
答案
（1）证明：作直径AG交BC于H，
青果学院
∵AE是⊙O的切线，切点为A，
∴AG⊥AD，
∵BC∥AE，
∴AG⊥BC，
∵AG为直径，
∴AG是BC的垂直平分线，
∴AB=AC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵BC∥AE，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AD=AB，
∴AC=AD．

（2）解：设AB=x，则AC=AD=x
∵BC∥AE，
∴△ADF∽△CBF，
∴
AD
CB
=
AF
FC

∴
x
3
=
x-
3
2
3
2

∴x=6+3
3

（1）证明：作直径AG交BC于H，
青果学院
∵AE是⊙O的切线，切点为A，
∴AG⊥AD，
∵BC∥AE，
∴AG⊥BC，
∵AG为直径，
∴AG是BC的垂直平分线，
∴AB=AC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵BC∥AE，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AD=AB，
∴AC=AD．

（2）解：设AB=x，则AC=AD=x
∵BC∥AE，
∴△ADF∽△CBF，
∴
AD
CB
=
AF
FC

∴
x
3
=
x-
3
2
3
2

∴x=6+3
3
考点梳理
切线的性质；相似三角形的判定与性质．
（1）要证DE是⊙O的切线，只要连接OC，再证∠DCO=90°即可．
（2）已知两边长，求其它边的长，可以来三角形相似，对应边成比例来求．
本题考查了切线的判定、相似三角形的性质和勾股定理的运用．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
几何综合题．
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