试题

题目：
青果学院（2007·福州质检）如图，AB是圆O的直径，AD是圆O的切线，C是圆O上的一点，且CD∥AB．
（1）求证：△ABC∽△CAD；
（2）若CD=
3
，sin∠CAD=
1
3
，求AB的长．
答案
（1）证明：如图，∵AD是圆O的切线，
∴AD⊥AB．
又∵CD∥AB，
∴CD⊥AD，∠CAB=∠DCA．
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠CDA=90°，
∴△ABC∽△CAD；

（2）解：如图，∴在直角△ACD中，CD=
3
，sin∠CAD=
1
3
，
∴
CD
AC
=
1
3
，即AC=3CD=3
3
．
由（1）知，△ABC∽△CAD，
∴∠ABC=∠CAD，
∴sin∠ABC=sin∠CAD=
AC
AB
=
1
3
，
∴AB=3AC=9
3
．即AB的长是9
3
．
（1）证明：如图，∵AD是圆O的切线，
∴AD⊥AB．
又∵CD∥AB，
∴CD⊥AD，∠CAB=∠DCA．
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠CDA=90°，
∴△ABC∽△CAD；

（2）解：如图，∴在直角△ACD中，CD=
3
，sin∠CAD=
1
3
，
∴
CD
AC
=
1
3
，即AC=3CD=3
3
．
由（1）知，△ABC∽△CAD，
∴∠ABC=∠CAD，
∴sin∠ABC=sin∠CAD=
AC
AB
=
1
3
，
∴AB=3AC=9
3
．即AB的长是9
3
．
考点梳理
切线的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
（1）由圆周角定理、已知条件求得∠ACB=∠ADC=90°，由平行线的性质推知∠DCA=∠CAB，则证得结论；
（2）通过解直角△ADC求得AC=3
3
．然后再由（1）中相似三角形的对应角相等知sin∠CAD=sin∠ABC=
AC
AB
，则易求AB=9
3
．
本题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形．解答（2）题时，也可以根据相似三角形的对应边成比例来求线段AB的长度．
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