试题

如图，PA切⊙O于A，PBC过圆心O，交⊙O于B、C，CD⊥PA于D，交⊙O于点E．
（1）求证：CA平分∠BCD．
（2）若DC=6，AC=4

3

，求⊙O的半径．
（3）作AG⊥BC于G，连接AB、DG，判断AB与DG的位置关系，并证明．

（1）证明：连接OA，
∵PD切⊙O于A，
∴OA⊥PD，
∵CD⊥PD，
∴∠PAO=∠PDC=90°，
∴OA∥CD，
∴∠OAC=∠ACD，
在⊙O中，OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠ACD=∠OCA，
∴CA平分∠BCD；                      
（2）连接BA，
在⊙O中，BC为直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠PDC，
∵∠ACO=∠ACD，
∴△BCA∽△ACD，
∴

AC

CD

=

BC

AC

，
∴AC²=BC·DC，即（4

3

）²=6BC，
∴BC=8，
∴⊙O的半径为4；                       
（3）AB∥DG，理由为：
证明：∵AG⊥BC，
∴∠AGC=∠ADC=90°，
在△ACG和△ACD中，

∠AGC=∠ADC=90° ∠ACO=∠ACD AC=AC

，
∴△ACG≌△ACD（AAS），
∴AG=AD，∠GAC=∠DAC，
∴AC⊥GD，
∵BA⊥AC，
∴∠BAC=∠GMC=90°，
∴AB∥DG．
（1）证明：连接OA，
∵PD切⊙O于A，
∴OA⊥PD，
∵CD⊥PD，
∴∠PAO=∠PDC=90°，
∴OA∥CD，
∴∠OAC=∠ACD，
在⊙O中，OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠ACD=∠OCA，
∴CA平分∠BCD；                      
（2）连接BA，
在⊙O中，BC为直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠PDC，
∵∠ACO=∠ACD，
∴△BCA∽△ACD，
∴

AC

CD

=

BC

AC

，
∴AC²=BC·DC，即（4

3

）²=6BC，
∴BC=8，
∴⊙O的半径为4；                       
（3）AB∥DG，理由为：
证明：∵AG⊥BC，
∴∠AGC=∠ADC=90°，
在△ACG和△ACD中，

∠AGC=∠ADC=90° ∠ACO=∠ACD AC=AC

，
∴△ACG≌△ACD（AAS），
∴AG=AD，∠GAC=∠DAC，
∴AC⊥GD，
∵BA⊥AC，
∴∠BAC=∠GMC=90°，
∴AB∥DG．