试题

题目：
青果学院如图，AB是⊙O的直径，CB、CD是⊙O的两条切线，D为切点，AC与⊙O交于点E，连接BE．
（1）求证：△BEC∽△ABC；
（2）若CE=4，AE=5，求切线CD的长．
答案
（1）证明：如图，∵AB是⊙O的直径，CB是⊙O的切线，
∴∠AEB=90°，∠ABC=90°，
∴∠BEC=∠AEB=90°，
∴∠BEC=∠ABC，
又∵∠BCE=∠ACN，
∴△BEC∽△ABC；

（2）解：∵AC=CE+AE=4+5=9，
∵△BEC∽△ABC，
∴
CB
AC
=
CE
CB
，
∴CB2=CE·AC=4×9=36，
∴CB=6，
∵CB、CD是⊙O的两条切线，
∴CD=CB=6．
（1）证明：如图，∵AB是⊙O的直径，CB是⊙O的切线，
∴∠AEB=90°，∠ABC=90°，
∴∠BEC=∠AEB=90°，
∴∠BEC=∠ABC，
又∵∠BCE=∠ACN，
∴△BEC∽△ABC；

（2）解：∵AC=CE+AE=4+5=9，
∵△BEC∽△ABC，
∴
CB
AC
=
CE
CB
，
∴CB2=CE·AC=4×9=36，
∴CB=6，
∵CB、CD是⊙O的两条切线，
∴CD=CB=6．
考点梳理
切线的性质；相似三角形的判定与性质．
（1）由AB为圆的直径，CB为圆的切线，利用圆周角定理得到∠AEB，∠BEC与∠ABC都为直角，得到∠BEC=∠ABC，再由∠ACB为公共角，利用两对对应角相等的两三角形相似即可得证；
（2）由CE+AE求出AC的长，再根据三角形BEC与三角形ABC相似，由相似得比例，将CE与AC的长代入求出BC的长，根据切线长相等即可得到BC=CD，进而求出CD的长．
此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，切线长定理，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
计算题．
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