试题

题目：
青果学院梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC，以AD为直径的⊙O交AB于E，⊙O的切线EF交BC于F，求证：
（1）EF⊥BC；
（2）BF·BC=BE·AE．
答案
青果学院证明：（1）连接OE，
∵∠DEF+∠DEO=90°，∠ADE+∠OEA=90°，
∴∠DEF=∠OEA．
∵OA=OE，AD=BC，
∴∠OEA=∠A=∠B．
∴∠A=∠B=∠DEF．
∵∠DEF+∠BEF=90°，
∴∠BEF+∠B=90°．
∴EF⊥BC；

（2）∵∠A=∠B，∠AED=∠BFE=90°，
∴△ADE∽△BEF．
∴
AD
BE
=
AE
BF
．
∵AD=BC，
∴
BC
BE
=
AE
BF
．
∴BF·BC=BE·AE．
青果学院证明：（1）连接OE，
∵∠DEF+∠DEO=90°，∠ADE+∠OEA=90°，
∴∠DEF=∠OEA．
∵OA=OE，AD=BC，
∴∠OEA=∠A=∠B．
∴∠A=∠B=∠DEF．
∵∠DEF+∠BEF=90°，
∴∠BEF+∠B=90°．
∴EF⊥BC；

（2）∵∠A=∠B，∠AED=∠BFE=90°，
∴△ADE∽△BEF．
∴
AD
BE
=
AE
BF
．
∵AD=BC，
∴
BC
BE
=
AE
BF
．
∴BF·BC=BE·AE．
考点梳理
切线的性质；相似三角形的判定与性质．
（1）根据已知利用切线的性质可得到∠BEF+∠B=90°，即EF⊥BC；
（2）利用两组角对应相等的两个三角形相似得到△ADE∽△BEF，再根据相似三角形的对应边成比例和AD=BC，即可得到BF·BC=BE·AE．
此题考查了相似三角形的性质与判定，切线的性质等知识及其运用能力．
证明题．
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