试题

如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，0A与⊙0相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C
（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；
（2）若PC=2

5

，求线段PB的长．

解：（1）AB=AC，理由如下：
连接OB．
∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，
∴∠OBA=∠OAC=90°，
∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，
∵OP=OB，
∴∠OBP=∠OPB，
∵∠OPB=∠APC，
∴∠ACP=∠ABC，
∴AB=AC；

（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，
设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5-r，
则AB²=OA²-OB²=5²-r²，
AC²=PC²-PA²=（2

5

）²-（5-r）²，
∴5²-r²=（2

5

）²-（5-r）²，
解得：r=3，
∴AB=AC=4，
∵PD是直径，
∴∠PBD=90°=∠PAC，
又∵∠DPB=∠CPA，
∴△DPB∽△CPA，

∴

CP

PD

=

AP

BP

，
∴

2 5

3+3

=

5-3

BP

，
∴BP=

6 5

5

，
答：线段PB的长为

6 5

5

．
解：（1）AB=AC，理由如下：
连接OB．
∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，
∴∠OBA=∠OAC=90°，
∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，
∵OP=OB，
∴∠OBP=∠OPB，
∵∠OPB=∠APC，
∴∠ACP=∠ABC，
∴AB=AC；

（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，
设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5-r，
则AB²=OA²-OB²=5²-r²，
AC²=PC²-PA²=（2

5

）²-（5-r）²，
∴5²-r²=（2

5

）²-（5-r）²，
解得：r=3，
∴AB=AC=4，
∵PD是直径，
∴∠PBD=90°=∠PAC，
又∵∠DPB=∠CPA，
∴△DPB∽△CPA，

∴

CP

PD

=

AP

BP

，
∴

2 5

3+3

=

5-3

BP

，
∴BP=

6 5

5

，
答：线段PB的长为

6 5

5

．