试题

如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，⊙D与BC、AC、AB都相切，切点分别是E、F、G，BA、ED的延长线交于点H，a、b是关于x的方程x²-（c+4）x+4c+8=0的两个根．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）若25asin∠BAC=9c，求四边形CEDF的面积．

（1）证明：∵a、b是关于x的方程x²-（c+4）x+4c+8=0的两个根，
∴a+b=c+4，ab=4c+8，
∴（a+b）²=（c+4）²，即a²+2ab+b²=c²+8c+16，
∴a²+b²=c²，
∴△ABC是直角三角形；
（2）解：连DB，如图
∵25asin∠BAC=9c，即sin∠BAC=

9c

25a

，
在Rt△ABC中，sin∠BAC=

a

c

，
∴

a

c

=

9c

25a

，
∴25a²=9c²，
∴3c=5a，
设c=5x，则a=3x，b=4x，
∴5x+4x=3x+4x+4，解得x=2，
∴a=6，b=8，c=10，
∵⊙D与BC、AC、AB都相切，切点分别是E、F、G，
∴DE=DF=DG，DE⊥BC，DG⊥AB，
∴四边形DECF为正方形，
设DE=DF=DG=R，
∵S_△ABC+S_梯形DECA=S_△BED+S_△DAB，
∴

1

2

×6×8+

1

2

×（R+8）×R=

1

2

×（6+R）×R+

1

2

×10×R，解得R=6，
∴四边形CEDF的面积=R²=36．
（1）证明：∵a、b是关于x的方程x²-（c+4）x+4c+8=0的两个根，
∴a+b=c+4，ab=4c+8，
∴（a+b）²=（c+4）²，即a²+2ab+b²=c²+8c+16，
∴a²+b²=c²，
∴△ABC是直角三角形；
（2）解：连DB，如图
∵25asin∠BAC=9c，即sin∠BAC=

9c

25a

，
在Rt△ABC中，sin∠BAC=

a

c

，
∴

a

c

=

9c

25a

，
∴25a²=9c²，
∴3c=5a，
设c=5x，则a=3x，b=4x，
∴5x+4x=3x+4x+4，解得x=2，
∴a=6，b=8，c=10，
∵⊙D与BC、AC、AB都相切，切点分别是E、F、G，
∴DE=DF=DG，DE⊥BC，DG⊥AB，
∴四边形DECF为正方形，
设DE=DF=DG=R，
∵S_△ABC+S_梯形DECA=S_△BED+S_△DAB，
∴

1

2

×6×8+

1

2

×（R+8）×R=

1

2

×（6+R）×R+

1

2

×10×R，解得R=6，
∴四边形CEDF的面积=R²=36．