试题

题目：
（2011·深圳模拟）如图，AB是半圆O上的直径，E是
BC
的中点，OE交弦BC于点D，过点C作⊙O切线交OE的延青果学院长线于点F．已知BC=8，DE=2．
（1）求⊙O的半径；
（2）求CF的长；
（3）求tan∠BAD的值．
答案
青果学院解：（1）∵E是
BC
的中点，
∴OE垂直平分BC，
∴△BOD为直角三角形．
设半径为x，则BO=x，OD=x-2，BD=4，
在直角△BOD中，根据勾股定理得（x-2）2+42=x2，
解得x=5．
即⊙O的半径为5；

（2）∵∠FCO=∠CDO=90°，∠COF=∠DOC，
∴△COF∽△DOC，
∴
CF
CD
=
OC
OD
，
∴CF=
20
3
；

（3）过点D作DM⊥AB于M，
∴DM=
3·4
5
=
12
5
．
又∵△ODM∽△OBD，
∴OM=
9
5
．
∴tan∠BAD=
DM
AM
=
12
5
9
5
+5
=
6
17
．
青果学院解：（1）∵E是
BC
的中点，
∴OE垂直平分BC，
∴△BOD为直角三角形．
设半径为x，则BO=x，OD=x-2，BD=4，
在直角△BOD中，根据勾股定理得（x-2）2+42=x2，
解得x=5．
即⊙O的半径为5；

（2）∵∠FCO=∠CDO=90°，∠COF=∠DOC，
∴△COF∽△DOC，
∴
CF
CD
=
OC
OD
，
∴CF=
20
3
；

（3）过点D作DM⊥AB于M，
∴DM=
3·4
5
=
12
5
．
又∵△ODM∽△OBD，
∴OM=
9
5
．
∴tan∠BAD=
DM
AM
=
12
5
9
5
+5
=
6
17
．
考点梳理
切线的性质；垂径定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．
（1）根据垂径定理可得△BOD为直角三角形，根据勾股定理求出半径；
（2）由1得OD=3，证明△COF∽△DOC，利用线段比求出CF；
（3）过点D作DM⊥AB于M，则可求DM、OM、AM的长，则tan∠BAD的值可求．
本题综合考查了相似三角形，勾股定理，垂径定理等相关知识，本题难度偏难．
压轴题．
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