试题

（2012·海门市模拟）在直角三角形ABC中，∠C=90°，点O为AB上的一点，以点O为圆心，OA为半径的圆弧与BC相切于点D，交AC于点E，连接AD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AE=2，DC=

3

，求圆弧的半径．

（1）证明：连接OD，
∵OA为半径的圆弧与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB=∠C=90°，
∴OD∥AC，
∴∠ODA=∠CAD，
又∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠CAD=∠OAD，
∴AD平分∠BAC．

（2）解：过O作OH⊥AC于H，
∵OH⊥AC，OH过O，
∴AH=HE=

1

2

AE=1，
∵OD∥AC，OH⊥AC，∠C=90°，
∴OH∥CD，
∵OD∥AC，
∴四边形OHCD是矩形，
∴OH=DC=

3

，
∴在Rt△AOH中，由勾股定理得：OA=

AH2+OH2

=

12+( 3 )2

=2，
即圆弧的半径是2．
（1）证明：连接OD，
∵OA为半径的圆弧与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB=∠C=90°，
∴OD∥AC，
∴∠ODA=∠CAD，
又∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠CAD=∠OAD，
∴AD平分∠BAC．

（2）解：过O作OH⊥AC于H，
∵OH⊥AC，OH过O，
∴AH=HE=

1

2

AE=1，
∵OD∥AC，OH⊥AC，∠C=90°，
∴OH∥CD，
∵OD∥AC，
∴四边形OHCD是矩形，
∴OH=DC=

3

，
∴在Rt△AOH中，由勾股定理得：OA=

AH2+OH2

=

12+( 3 )2

=2，
即圆弧的半径是2．