试题

如图，等腰Rt△ABC的直角边AB、AC分别与圆O相切于点E、D，AD=

3

，DC=5，直线FG与AC、BC分别交于点F、G，且∠CFG=60°．
（1）求阴影部分的面积；
（2）设点C到直线FG的距离为d，当1≤d≤4时，试判断直线FG与圆O的位置关系，并说明理由．

解：（1）连接OD，OE，
∵等腰Rt△ABC的直角边AB、AC分别与圆O相切于点E、D，
∴∠A=∠ADO=∠AEO=90°，
∴四边形AEOD是矩形，
∴AD=AE，
∴四边形AEOD是正方形，
∴OD=AD=

3

，∠DOE=90°，
∴S_阴影=S_{正方形AEOD}-S_扇形ODE=（

3

）²-

90π×( 3 )2

360

=3-

3

4

π；

（2）当FG与⊙O切于M，连接OD，OM，OF，过点C作CN⊥FG于N，
∵AC与⊙O相切于点D，
∴∠OFD=

1

2

∠DFM，
∵∠CFG=60°，
∴∠DFM=120°，
即∠OFD=60°，
∴DF=

OD

tan∠OFD

=

3

3

=1，
∴FC=CD-DF=5-1=4，
在Rt△CFN中，d=CN=FC·sin∠CFG=4×

3

2

=2

3

，
∴当d=2

3

时，直线FG与⊙O相切，
当1≤d＜2

3

时，直线FG与⊙O相离，
当2

3

＜d≤4时，直线FG与⊙O相交．
解：（1）连接OD，OE，
∵等腰Rt△ABC的直角边AB、AC分别与圆O相切于点E、D，
∴∠A=∠ADO=∠AEO=90°，
∴四边形AEOD是矩形，
∴AD=AE，
∴四边形AEOD是正方形，
∴OD=AD=

3

，∠DOE=90°，
∴S_阴影=S_{正方形AEOD}-S_扇形ODE=（

3

）²-

90π×( 3 )2

360

=3-

3

4

π；

（2）当FG与⊙O切于M，连接OD，OM，OF，过点C作CN⊥FG于N，
∵AC与⊙O相切于点D，
∴∠OFD=

1

2

∠DFM，
∵∠CFG=60°，
∴∠DFM=120°，
即∠OFD=60°，
∴DF=

OD

tan∠OFD

=

3

3

=1，
∴FC=CD-DF=5-1=4，
在Rt△CFN中，d=CN=FC·sin∠CFG=4×

3

2

=2

3

，
∴当d=2

3

时，直线FG与⊙O相切，
当1≤d＜2

3

时，直线FG与⊙O相离，
当2

3

＜d≤4时，直线FG与⊙O相交．