试题

已知AB是圆O的直径，PB切圆O于点B，∠APB的平分线分别交BC、AB于点D、E，交圆O于点F，PA交圆O于点C，∠A=60°，线段AE、BD的长是一元二次方程x2-kx+2

3

=0（k为常数）的两个根．
（1）求证：PA·BD=PB·AE；
（2）求证：圆O的直径为k；
（3）求tan∠FPA．

解：（1）∵PB切⊙O于点B，
∴∠PBD=∠A，又∠APE=∠BPF，
∴△PAE∽△PBD，
∴

PA

PB

=

AE

BD

，
即PA·BD=PB·AE．

（2）∵线段AE、BD是一元二次方程x²-kx+2

3

=0的两根（k为常数），
根据根与系数的关系，得AE+BD=k，
∵∠BED=∠A+∠APD，
∠BDE=∠PBD+∠BPD，
∴∠BED=∠BDE，
∴BD=BE，
∴AE+BE=k，
即AB=k．

（3）∵△PAE∽△PBD，
∴BD：AE=PB：PA，
∵∠A=60°，
∴PB：PA=sin60°=

3

2

，
∴BD：AE=

3

2

①，
BD·AE=2

3

②，
由①，②得，BD=

3

，AE=2，
BP=3+2

3

，
∴tan∠BPD=BE：BP=2-

3

，
即tan∠FPA=2-

3

．
解：（1）∵PB切⊙O于点B，
∴∠PBD=∠A，又∠APE=∠BPF，
∴△PAE∽△PBD，
∴

PA

PB

=

AE

BD

，
即PA·BD=PB·AE．

（2）∵线段AE、BD是一元二次方程x²-kx+2

3

=0的两根（k为常数），
根据根与系数的关系，得AE+BD=k，
∵∠BED=∠A+∠APD，
∠BDE=∠PBD+∠BPD，
∴∠BED=∠BDE，
∴BD=BE，
∴AE+BE=k，
即AB=k．

（3）∵△PAE∽△PBD，
∴BD：AE=PB：PA，
∵∠A=60°，
∴PB：PA=sin60°=

3

2

，
∴BD：AE=

3

2

①，
BD·AE=2

3

②，
由①，②得，BD=

3

，AE=2，
BP=3+2

3

，
∴tan∠BPD=BE：BP=2-

3

，
即tan∠FPA=2-

3

．