试题

如图，在圆O中AB是直径，AT是经过点A的切线，弦CD垂直AB于P点，线段CP的中点为Q，连接BQ并延长交切线AT于T点，连接OT．
（1）求证：BC∥OT；
（2）若⊙O直径为10，CD=8，求AT的长；
（3）延长TO交直线CD于R，若⊙O直径为10，CD=8，求TR的长．

解：（1）取BP的中点E，连接QE；
∵Q是PC的中点，E是PB的中点，
∴QE为△PBC的中位线，QE∥BC；
∵AT为经过A点的切线，AB为直径，
∴AT⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴AT∥CD，∠TAO=∠QPE=90°，
∴△BPQ∽△BAT，
∴

QP

PB

=

AT

AB

；
∵PB=2PE，AB=2AO，
∴

QP

PE

=

AT

AO

，
∴△TAO∽△QPE，
∴∠AOT=∠PEQ，
∴OT∥QE；
∵QE∥BC，
∴BC∥OT．

（2）∠AOT=∠CBP；
∵CD⊥AB，AB为直径CD=8，
∴CP=PD=4；
连接OC，在Rt△OCP中，
∵PC=4，OC=

1

2

AB=5，
∴OP=3，
∴PB=OB-OP=2，
∴△ATO∽△CPB，
∴

AT

AO

=

CP

PB

；
∵AO=

1

2

AB=5，
∴AT=10．

（3）在Rt△OAT中，OT=

AT2+AO2

=5

5

，
∵AT∥CR，
∴△AOT∽△POR，
∴

OT

OR

=

OA

OP

，
OR=

5 5 ×3

5

=3

5

，
∴TR=OT+OR=8

5

．
解：（1）取BP的中点E，连接QE；
∵Q是PC的中点，E是PB的中点，
∴QE为△PBC的中位线，QE∥BC；
∵AT为经过A点的切线，AB为直径，
∴AT⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴AT∥CD，∠TAO=∠QPE=90°，
∴△BPQ∽△BAT，
∴

QP

PB

=

AT

AB

；
∵PB=2PE，AB=2AO，
∴

QP

PE

=

AT

AO

，
∴△TAO∽△QPE，
∴∠AOT=∠PEQ，
∴OT∥QE；
∵QE∥BC，
∴BC∥OT．

（2）∠AOT=∠CBP；
∵CD⊥AB，AB为直径CD=8，
∴CP=PD=4；
连接OC，在Rt△OCP中，
∵PC=4，OC=

1

2

AB=5，
∴OP=3，
∴PB=OB-OP=2，
∴△ATO∽△CPB，
∴

AT

AO

=

CP

PB

；
∵AO=

1

2

AB=5，
∴AT=10．

（3）在Rt△OAT中，OT=

AT2+AO2

=5

5

，
∵AT∥CR，
∴△AOT∽△POR，
∴

OT

OR

=

OA

OP

，
OR=

5 5 ×3

5

=3

5

，
∴TR=OT+OR=8

5

．