试题

直角坐标系中，正方形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，A点的坐标为（O，4）．
（1）如图1，将正方形OABC绕点O顺时针旋转30°得正方形ODEF，边DE交BC于G，求G点坐标．
（2）如图2，⊙O₁与正方形ABCO四边都相切，直线MQ切⊙O₁于P，分别交y轴、x轴、线段BC于M、N、Q．求证：O₁N平分∠MO₁Q．
（3）如图3，点H与点B关于y轴对称，T为CA延长线上一点，TS为过T、H、A的⊙O₂直径，对于结论：①AT+AS；②AT-AS．其中只有一个正确，请作出判断并证明你的结论，求出其值．

（1）解：连接OG，如图①，
∵正方形OABC绕点O顺时针旋转30°得正方形ODEF，
∴∠AOD=30°，OD=AB，
∴∠DOC=60°，
∵OD=OC，∠D=∠OCG，OG公共，
∴Rt△ODG≌Rt△OCG，
∴∠DOG=∠COG，
∴∠COG=30°，
∵A点的坐标为（O，4），四边形OABC为正方形，
∴OC=OA=4，
∴CG=

3

3

OC=

4 3

3

，
∴G点坐标为（4，

4 3

3

）；

（2）证明：∵BQ∥AM，
∴∠BQM+∠AMQ=180°，
根据切线长定理，∠O₁QM+∠O₁MQ=180°×

1

2

=90°，
∴∠MO₁Q=180°-90°=90°，
由切线长定理∠NO₁Q=45°，
∴O₁M平分∠MO₁Q；

（3）解：AT-AS的值是定值为4

2

．
在AT上取点V，使TV=AS，即AT-AS=AV，
∵AS⊥AC，
∴∠THS=∠TAS=90°，
∵H（-4、4），A（0、4），
∴AH⊥AO；
又∵∠OAC=45°，
∴∠TAH=45°，
∵∠THS=∠TAS=90°，
∴∠TSH=45°，
∴HT=HS；
又∠HTV=∠HSA，TV=AS，
∴△HTV≌△HSA，
∴△HAV为等腰直角三角形，
∴AT-AS=AV=4

2

．
（1）解：连接OG，如图①，
∵正方形OABC绕点O顺时针旋转30°得正方形ODEF，
∴∠AOD=30°，OD=AB，
∴∠DOC=60°，
∵OD=OC，∠D=∠OCG，OG公共，
∴Rt△ODG≌Rt△OCG，
∴∠DOG=∠COG，
∴∠COG=30°，
∵A点的坐标为（O，4），四边形OABC为正方形，
∴OC=OA=4，
∴CG=

3

3

OC=

4 3

3

，
∴G点坐标为（4，

4 3

3

）；

（2）证明：∵BQ∥AM，
∴∠BQM+∠AMQ=180°，
根据切线长定理，∠O₁QM+∠O₁MQ=180°×

1

2

=90°，
∴∠MO₁Q=180°-90°=90°，
由切线长定理∠NO₁Q=45°，
∴O₁M平分∠MO₁Q；

（3）解：AT-AS的值是定值为4

2

．
在AT上取点V，使TV=AS，即AT-AS=AV，
∵AS⊥AC，
∴∠THS=∠TAS=90°，
∵H（-4、4），A（0、4），
∴AH⊥AO；
又∵∠OAC=45°，
∴∠TAH=45°，
∵∠THS=∠TAS=90°，
∴∠TSH=45°，
∴HT=HS；
又∠HTV=∠HSA，TV=AS，
∴△HTV≌△HSA，
∴△HAV为等腰直角三角形，
∴AT-AS=AV=4

2

．