试题

题目：
青果学院已知：如图△ABC内接于⊙O，OH⊥AC于H，过A点的切线与OC的延长线交于点D，∠B=30°，OH=2
3
．请求出：
（1）∠AOC的度数；
（2）线段AD的长（结果保留根号）；
（3）求图中阴影部分的面积．
答案
解：（1）∵∠B=30°，
∴∠AOC=2∠B=60°；

（2）∵∠AOC=60°，AO=CO，
∴△AOC是等边三角形；
∵OH=2
3
，
∴AO=4；
∵AD与⊙O相切，
∴AD=4
3
；

（3）∵S扇形OAC=
60×π×42
360
=
8
3
π，S△AOD=
1
2
×4×4
3
=8
3
；
∴S阴影=8
3
-
8
3
π．
解：（1）∵∠B=30°，
∴∠AOC=2∠B=60°；

（2）∵∠AOC=60°，AO=CO，
∴△AOC是等边三角形；
∵OH=2
3
，
∴AO=4；
∵AD与⊙O相切，
∴AD=4
3
；

（3）∵S扇形OAC=
60×π×42
360
=
8
3
π，S△AOD=
1
2
×4×4
3
=8
3
；
∴S阴影=8
3
-
8
3
π．
考点梳理
扇形面积的计算；圆周角定理；切线的性质．
（1）∠AOC与∠B是同弧所对的圆心角与圆周角，因而∠AOC=2∠B；
（2）在Rt△OAD中，根据三角函数就可以求出AD的值；
（3）阴影部分的面积是△OAD与扇形OAC的面积差，可据此来求阴影部分的面积．
本题主要考查了圆心角与同弧所对的圆周角的关系．不规则图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．
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